四川省眉山市仁寿县部分学校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

这是一份四川省眉山市仁寿县部分学校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题：，（为自然对数的底数），则命题的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由特称命题的否定可知命题的否定为：，.
故选：D.
2. 若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】圆的圆心是 ，半径是 ，
把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，
当直线斜率不存在时，直线为 ，不满足题意；
当直线斜率存在时，
设直线为 ，即 ，
因直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得 或 ，
切线为或 ，
故选：D.
3. 已知空间向量满足，则与的夹角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】由题设，则，故，
所以，，可得.
故选：C.
4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，解得，
故选：C．
5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A：若，，，则或与相交，故A错误；
对于B：若，，，则与平行或，故B错误；
对于C：若，，，则或与相交或平行，故C错误；
对于D：若，如图
设，过作，因为，，所以，所以，因为，所以，故D正确；故选：D.
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由三视图还原原几何体如图（说明：没有标点的那三条虚线是为了方便理解图形），该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，，
侧面与全等，侧面为等腰三角形，
，，
所以该三棱锥的表面积为.
故选：A.
.
7. 如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，
对于A，，，，与不垂直，A不是；
对于B，，，，，B是；
对于C，，，，与不垂直，C不；
对于D，，，，与不垂直，D不是.
故选：B.
8. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A. 6B. C. 8D.
【答案】B
【解析】由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分.
9. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（ ）
A. 两人均获得满分的概率
B. 两人至少一人获得满分的概率
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率
D. 两人至多一人获得满分的概率
【答案】ACD
【解析】设“甲获得满分”， “乙获得满分”，则,
对于A，“两人均获得满分”可表示为,因两人能否获得满分相互独立，
故, 即A正确；
对于B，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为 “两人都没获得满分”,
则“两人至少一人获得满分”的概率为：，故B错误；
对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为，其概率为：，故C正确；
对于D，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”，
则“两人至多一人获得满分”为：,故D正确.
故选：ACD .
10. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为
D. 存在实数使得
【答案】BD
【解析】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
对于A，，故与不垂直，故A错误；
对于B，，
所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，由上，
所以，
所以即，又，
所以，
因为，
又由正方体性质可知平面即平面，
所以，故C错误；
对于D，若存在实数使得，
则，
所以，所以，
故D正确.
故选：BD.
11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，有以下两个结论：
（1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，
则；
（2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，
则．
现已知平面，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】根据题意，平面，即，
所以平面的法向量为，
直线，即，
所以直线经过点，且方向向量为，
由于，所以，A正确，D错误；
直线，经过点，且方向向量为，
由于，所以与平面不平行，B错误；
直线，经过点，且方向向量为，
由于，
且点不在平面内，所以，C正确.
故选：AC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案写在答题卡相应位置上.
12. 已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是______．
【答案】或
【解析】由题设，，则，而，
所以椭圆标准方程是或.
13. 圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是__________．（选择以下答案填空：“相离”，“外切”，“相交”，“内切”，“内含”）
【答案】内切
【解析】由题意可得圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为，半径，
两圆圆心距，
因为，所以两圆内切.
14. 已知三棱锥中，面，，，，，则三棱锥外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】因为，，，所以，所以， 又面，，
所以可以把该棱锥镶嵌到长宽高分别为，，的长方体中，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
所以外接球的半径为，
所以球的体积为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 设：实数满足，．
（1）若，且，都为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）时，，，即，
又，而，都为真命题，所以；
（2），，
是的充分不必要条件，则且等号不能同时取得，所以．
16. 分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（1）一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
（2）一个焦点坐标为，且椭圆经过点．
解：（1）由题意，，又，所以，
椭圆标准方程为；
（2）由题意椭圆另一焦点为．
，
，，所以，焦点在轴，
椭圆方程为．
17. 如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和，高为3．
（1）求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；
（2）若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
解：（1）设，
由已知可得：，
由得：，
∴圆的圆心为，半径为，
∴圆的方程为：．
（2）设，
∵为线段的中点，∴，
代入点所在圆的方程得：
，
∴点的轨迹方程为．
18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，点是的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
（1）证明：平面平面，.
，由且是直角梯形，
，
即，.
平面平面，平面.
平面，平面平面.
（2）解：平面平面，.
又，平面平面，平面，
即为直线与平面所成角.
，，则，
取的中点，连接，以点为坐标原点，
分别以为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设为平面的法向量，则，
令，得，得，
设为平面的法向量，
则，令，则，得.
.
平面与平面所成角的余弦值的余弦值为.
19. 已知三棱柱中，.
（1）求证: 平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
（1）证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图，
则有，因，，平面，
于是得平面，
而平面，则，
由得，，平面，
从而得平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，
则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，
则，
假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，
则有，设平面的一个法向量，
则有，
令得，而平面的一个法向量，
依题意，，
化简整理得：
而，解得，
所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.