四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题（解析版）

这是一份四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1. 设向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】由，得，
∵，，
∴，解得，
故选：D.
2. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，
故选：A.
3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
4. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，
则，
电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，
、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率为.
故选：C.
5. 七巧板是中国民间流传的智力玩具，已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形（其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形），一块正方形和一块平行四边形．可以拼成人物、动物、植物、房亭，楼阁等种以上图案，现从七巧板的五块三角形中任意取出两块；则两块板恰好是全等三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对五块三角形进行编号，记两块小型三角形为，一块中型三角形为，两块大型三角形为，
从五块三角形中任意取出两块，则样本空间为：
，共有个样本点，
则两块板恰好是全等三角形的样本点有：，共个，
所以两块板恰好是全等三角形的概率为：.
故选：D.
6. 已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ）
A. 1或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】的圆心为，半径为1，
圆心到直线的距离，
故，
则的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
即，解得.
故选：A.
7. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，则直线EF到平面的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以D为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
由于，则，
又平面，故平面，
则直线EF到平面的距离即为点E到平面的距离，
又,
设点E到平面的距离为d，即得,
即直线EF到平面的距离为，
故选：B.
8. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
化为标准方程可得：，
则，即，①
又在圆外，可得：，解得：或，②
由①②取交集可知，实数的取值范围是，
故选：C.
二、多选题（共18分）
9. 设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
【答案】BD
【解析】对于A，若与对立，则，故A错误；
对于B，与互斥，则，故B正确；
对于C，因为，故，
故，故与不相互独立，故C错误；
对于D，因，所以，
而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确.
故选：BD.
10. 若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（ ）
A. 0B. C. 2D.
【答案】BD
【解析】直线恒过定点，
由可得，如图，
由解得或（舍去），即,
由，可得,
由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点.
故选：BD.
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）

A.
B.
C. 平面
D. 异面直线与夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】因为平面平面，所以，
在正方形中，有，所以两两互相垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

而，从而A0,0,0，，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，平面的一个法向量为，故C正确；
对于D，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故D正确．
故选：ACD．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共15分）
12. 在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是__.
【答案】
【解析】满足题意的所有两位数有，共15个.
其中能被4整除的两位数有，共5个.
所以概率.
13. 过点且与圆：相切的直线方程为__________
【答案】或
【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程为，即，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或 ．
14. 如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为________.
【答案】
【解析】连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形中，因为，
故，
则，
则，，
故点，又，，，
设点，，由，
可得，，，
设平面的法向量m=x,y,z，
则，即，
取，则，
故平面的法向量，
又，
设直线与平面所成角为，，
则，
因为，且，
故令，，，
则，
，，
又，所以，
，即，
所以的最大值为.
四、解答题（共77分）
15. 已知三角形ABC的顶点坐标为．
（1）求过点C且与边AB平行的直线方程；
（2）求AB边上的高所在的直线方程．
解：（1）因为，由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
（2）由（1）可知，，
则AB边上的高所在的直线斜率为，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得.
16. 已知直线和圆．
（1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
解：（1）由圆可得，圆心,半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为.
（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
17. 甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
（1）求甲在一局中得2分的概率；
（2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
解：（1）根据题意，画出树状图，如图：

所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.
18. 如图，在平行六面体中，平面ABCD，，，
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
（1）证明：解法一：因为⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，，所以，，
因为，所以，
又因为，.
所以，化简得.
所以，
所以.
解法二：在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
设，则，
所以，，
由得，所以，
又因，所以，解得，
所以，，，，
所以，
所以.
解法三：在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
则，所以，所以，，
在中，，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，，
所以，所以，
所以.
（2）解：因为，由（1）知，
所以，
过作于H，则.
因为直棱柱中平面平面ABCD，平面平面，
平面ABCD，所以平面，
所以.
（3）解：解法一：假设存在点E满足条件，
因⊥平面ABCD，，
所以以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，，
，
设，
则，
设平面EBD的一个法向量为，
由，得，
令，得，所以.
设平面的一个法向量，
由，得，
令，得，所以.
所以，
因为平面EBD与平面的夹角为，
即，解得，
又因为，所以舍去，
所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为.
解法二：由（1）解法二得平面的一个法向量为，
假设存在E点满足条件，设，则
设平面EBD的一个法向量为，
由，得，
令，则，所以.
所以，
因为平面EBD与平面夹角为，
即，解得.
又因为，所以舍去，
所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为.
19. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是.
（1）求曲线C的方程；
（2）已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且，
①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标；
②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值.
（1）解：设，，由中点坐标公式得，
由题意可知，，
所以，
整理得到曲线的方程为；
（2）①解：设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，即，
所以，，
所以，
，
所以且，
所以直线的方程为，即直线过定点；
②证明：如图所示：
因为为定值，且于点，
所以为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，此时为定值，
因为，，所以由中点坐标公式得，
所以存在定点，使得为定值.