湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年高二创新实验班下学期期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年高二创新实验班下学期期中考试数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知，，.则是（ ）
2. 设，，若，则（ ）
3. 已知复数，，且为纯虚数，则（ ）
4. 已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（ ）
5. 已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（ ）
6. 将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ）
7. 已知事件A与事件B相互独立且，则（ ）
8. 已知函数，其中．若函数在上为增函数，则的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
9. 下列说法中，正确的命题是（ ）
10. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则（ ）
11. 已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________．
13. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
14. 点分别是曲线和直线上任意一点，则的最小值为______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．
(1)从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；
(2)从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．
16. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
17. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求a的取值范围.
18. 2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：
(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．
(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．
(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．
19. 已知点在椭圆上，设分别为椭圆的上，下顶点和右焦点，且点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线经过点，且与椭圆交于两点，求直线和的斜率之和．
(3)过点的直线与椭圆交于两点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，设的面积分别为，是否存在实数，使得总成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年高二创新实验班下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面向量、复数、计数原理与概率统计、数列、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．0
C．6
D．
A．
B．2
C．
D．
A．50
B．55
C．59
D．64
A．13
B．26
C．30
D．33
A．24
B．50
C．72
D．150
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．2
A．由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心
B．，
C．若，，，则
D．在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种
A．
B．当时，的最小值为
C．点到直线的距离的最小值为2
D．当时，直线ON的斜率的最大值为
展区类型
新一代信
息技术展
环保展
新型显示展
智慧城市展
数字医疗展
高端装备
制造展
展区的企
业数量/家
60
360
650
450
70
990
备受关注率
0.20
0.10
0.24
0.30
0.10
0.20
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
9
适中
9
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
2
0.85
利用向量垂直求参数
3
0.85
已知复数的类型求参数；求复数的模；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
4
0.65
服从二项分布的随机变量概率最大问题；指定区间的概率；正态曲线的性质
5
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；利用an与sn关系求通项或项；利用定义求等差数列通项公式
6
0.65
分组分配问题
7
0.85
计算条件概率
8
0.85
利用正弦型函数的单调性求参数；三角恒等变换的化简问题
二、多选题
9
0.65
卡方的计算；利用全概率公式求概率；解释回归直线方程的意义；方差的性质
10
0.65
实际问题中的组合计数问题；排列组合综合；分步乘法计数原理及简单应用
11
0.65
根据抛物线方程求焦点或准线；直线与抛物线交点相关问题
三、填空题
12
0.85
计算古典概型问题的概率；实际问题中的组合计数问题
13
0.85
求指定项的系数；两个二项式乘积展开式的系数问题
14
0.85
已知切线（斜率）求参数；求平行线间的距离
四、解答题
15
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；计算条件概率；根据古典概型的概率求参数；求离散型随机变量的均值
16
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；利用函数单调性求最值或值域；根据解析式直接判断函数的单调性
17
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间
18
0.65
计算条件概率；求离散型随机变量的均值；计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列
19
0.4
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中的定值问题；根据a、b、c求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,14,16,17
3
平面向量
2
4
复数
3
5
计数原理与概率统计
4,6,7,9,10,12,13,15,18
6
数列
5
7
三角函数与解三角形
8
8
平面解析几何
11,14,19
9
空间向量与立体几何
16