2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考2

这是一份2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考2，共38页。试卷主要包含了在实数范围内分解因式，在50件同种产品中，有5件次品等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各式一定成立的是（ ）
A．ab=a−1b−1
B．ba=b2ab
C．nm=n(a2+1)m(a2+1)
D．nm=n+am+a
2．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2020，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A．12020B．−12020C．2020D．﹣2020
3．（4分）x与2的和小于3，用不等式表示为（ ）
A．x+2＞3B．x+2≥3C．x+2＜3D．x+2≤3
4．（4分）在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，189（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．180，182B．178，182C．180，180D．178，180
5．（4分）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如表所示，由此可以推断丁同学的得分为（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）学校要围一个占地面积144平方米的正方形花圃，需要准备竹篱笆的长度为 ．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AP＝12，那么BP的长为 ．
9．（4分）在实数范围内分解因式：a2m﹣5m＝ ．
10．（4分）在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 ．
11．（4分）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD＝EF＝1.7m，则旗杆AB的高度是 m（精确到0.1m）．（参考数据 ：3≈1.732)
12．（4分）将抛物线y＝x2先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD．若△ADE的面积为3，则四边形DBCE的面积为 ．
14．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果AD＝4cm，AB＝8cm，BC＝10cm，那么ED＝ cm．
15．（4分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比，叫做∠A的邻弦，记作thiA=BCAB．解决问题：在△ABC中，∠C＝30°，thiA=3，BC＝12，则AC＝ ．
16．（4分）如图，A、B分别是反比例函数y1=−2x（x＜0)y2=kx(k＞，y2=kx（k＞0，x＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是 ．
17．（4分）“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是 m．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，点E为BC的中点，连接AE，若AE⊥AD，AB＝2AE＝25，CDAD=13，则BC的长为 ．
三．解答题（共7小题）
19．计算：（5）2−(27)13−（﹣22）+20230．
20．求不等式组x−1＞−3①3x−6≤x②的整数解．
21．如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．
（1）求证：△ABC∽△DEB．
（2）若AC＝6，AB＝8，BD＝3，求DE的长．
22．某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件；若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件．
（1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？
（2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？
23．如图，已知直线y＝x+6与x轴交于点A、与y轴交于点B，经过原点的直线与直线AB相交于点C（﹣4，2）．
（1）求B点坐标；
（2）求△OBC的面积；
（3）在直线BC上是否存在点M，使△OCM的面积是△AOB的面积的13？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝6．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P使△ABP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，BP是∠ABC内的一条射线，点E，F都是BP上的点，已知DE⊥DF且DE＝DF，连接BD，CF．
（1）求证：BE＝CF；
（2）设AC与BP交于点O，求证：tan∠CBF=OCOA；
（3）如图2，当射线BP在∠ABC外部时，其他条件不变，探索AE，DE和CF之间的数量关系，并加以证明．
2025-2026学年上学期上海初中数学九年级开学模拟考2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列各式一定成立的是（ ）
A．ab=a−1b−1
B．ba=b2ab
C．nm=n(a2+1)m(a2+1)
D．nm=n+am+a
【考点】分式的基本性质．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】C
【分析】运用分式的基本性质进行逐一辨别、求解．
【解答】解：A．ab≠a−1b−1，故本选项不符合题意；
B．当b≠0时，ba=b2ab才成立，故本选项不符合题意；
C．nm=n(a2+1)m(a2+1)，故本选项符合题意；
D．nm≠n+am+a，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2020，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A．12020B．−12020C．2020D．﹣2020
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】x＝2020满足方程ax2+bx+c＝0，20202a+2020b+c＝0，两边同时除以20202可确定所求方程的一个根．
【解答】解：把x＝2020代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20202a+2020b+c＝0，
两边除以20202，得a+12020b+120202•c＝0，
∴120202c+12020b+a＝0，
∴12020是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
3．（4分）x与2的和小于3，用不等式表示为（ ）
A．x+2＞3B．x+2≥3C．x+2＜3D．x+2≤3
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“x与2的和小于3”，即可列出关于x的一元一次不等式．
【解答】解：根据题意得：x+2＜3．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
4．（4分）在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：176，178，178，180，182，185，189（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．180，182B．178，182C．180，180D．178，180
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据178出现2次，次数最多，
所以这组数据的众数为178，
这组数据的中位数为180，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
5．（4分）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如表所示，由此可以推断丁同学的得分为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【考点】推理与论证．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】D
【分析】根据甲、乙、丙、丁的得分，找出相同的答案，判断每个题的最终答案，最后根据答案去得出结果．
【解答】解：试题由6道判断题组成，每题正确得1分，甲、乙都得4分，
则甲、乙至少有2道题目结果相同，
由表可得：第3题和第6题正确答案为“×”；
所以，丙：第3题和第6题判断错误，
丙得了4分则表示其余4题都判断正确；
所以，6道题的正确答案为：1×，2√，3×，4√，5×，6×，
所以丁第2题第3题第5题判断错误，其余3题都正确，得3分．
故选：D．
【点评】本题主要考查了推论与论证，学生对于数据的知识的掌握情况，正确地判断出6道题的正确答案为：1×，2√，3×，4√，5×，6×是解题的关键．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题；数形结合；推理能力．
【答案】D
【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x＝﹣1时图象在x轴下方，得到y＝a﹣b+c＜0，即a+c＝b；对称轴为直线x＝1，可得x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0；利用对称轴x=−b2a=1得到a=−12b，而a﹣b+c＜0，则−12b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．
【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确；
对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；
x=−b2a=1，则a=−12b，而a﹣b+c＜0，则−12b﹣b+c＜0，2c＜3b，所以④正确；
开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正不确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=−b2a，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当Δ＝b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）学校要围一个占地面积144平方米的正方形花圃，需要准备竹篱笆的长度为 48米 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】48米．
【分析】先根据正方形的面积求出其边长，再根据正方形的周长公式计算即可．
【解答】解：设正方形花圃的边长为x米，
根据题意得，x2＝144，
解得x＝12或x＝﹣12（舍去），
所以需要准备竹篱笆的长度为12×4＝48米，
故答案为：48米．
【点评】本题考查了算术平方根的应用，正方形的性质，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AP＝12，那么BP的长为 65−6 ．
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】65−6．
【分析】设PA＝12，根据点P是线段AB的黄金分割点得出x2＝（12+x）•12，解方程即可求解．
【解答】解：设PB＝x，则AB＝12+x，
由题意可得：APAB=BPAP，即AP2＝BP•AP，
∴122＝（12+x）x，
解得x1=65−6，x2=−65−6（舍去），
故答案为：65−6．
【点评】本题考查的是黄金分割点，正确记忆相关公式是解题关键．
9．（4分）在实数范围内分解因式：a2m﹣5m＝ m（a+5）（a−5） ．
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】m（a+5）（a−5）．
【分析】先提取公因式再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2m﹣5m
＝m（a2﹣5）
＝m（a+5）（a−5），
故答案为：m（a+5）（a−5）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和提取公因式法因式分解，在实数范围内要分解彻底是解题的关键．
10．（4分）在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 110 ．
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】110．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：取出次品的可能性大小是550=110．
故答案为：110．
【点评】本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）=mn．
11．（4分）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD＝EF＝1.7m，则旗杆AB的高度是 16.1 m（精确到0.1m）．（参考数据 ：3≈1.732)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】15.9
【分析】延长CE，交AB于点G．则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.7m，设BG＝x m．先证CG＝BG＝x m，则GE＝（x﹣6）m．再由锐角三角函数定义，即可解决问题．
【解答】解：延长CE，交AB于点G．如图所示：
则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.7m，
设BG＝x m．
在Rt△BGC中，∠BCG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BG＝x m，
∵CE＝6m，
∴GE＝（x﹣6）m．
在Rt△BGE中，∠BEG＝60°，tan∠BEG=BGEG=tan60°=3，
∴xx−6=3，
解得：x＝9+33，
∴AB＝BG+GA＝9+33+1.7≈15.9（m），
故答案为：15.9．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
12．（4分）将抛物线y＝x2先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2+1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】y＝（x﹣2）2+1．
【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向上平移1个单位，再向右平移2个单位后所得的抛物线是y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
【点评】本题考查二次函数图象的平移．掌握其平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD．若△ADE的面积为3，则四边形DBCE的面积为 24 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】24．
【分析】由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，可得S△ADES△ABC=（ADAB）2＝（13）2，由S△ADE＝1，可得S△ABC＝9，由此即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（ADAB）2＝（13）2，
∵S△ADE＝3，
∴S△ABC＝27，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果AD＝4cm，AB＝8cm，BC＝10cm，那么ED＝ 5 cm．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】5．
【分析】先说明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=EDBC，即48=ED10，
解得ED＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
15．（4分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比，叫做∠A的邻弦，记作thiA=BCAB．解决问题：在△ABC中，∠C＝30°，thiA=3，BC＝12，则AC＝ 83或43 ．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】新定义；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】83或43．
【分析】根据新定义得出AB=43，如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，设AC＝x，则AD=12x，在Rt△ADB中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝30°，thiA=3，BC＝12，thiA=BCAB，
∴AB=43，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，设AC＝x，则AD=12x，
∴CD=AC×csC=32x，DB=|CD−BC|=|32x−12|，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣DB2，
∴(12x)2=(43)2−(32x−12)2，
解得：x=83或43，
故答案为：83或43．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．（4分）如图，A、B分别是反比例函数y1=−2x（x＜0)y2=kx(k＞，y2=kx（k＞0，x＞0）图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是 4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设点A的坐标，根据平行点A、B的纵坐标相同得到点B的纵坐标，再代入y2的解析式求出点B的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：点A在反比例函数y1=−2x（x＜0)y2=kx(k＞图象上，
故设A（a，−2a），
∵AB∥x轴，
∴yB＝yA=2a；
∵点B在y2=kx（k＞0，x＞0）图象上，即kx=−2a，
则xB=−ak2，
∴AB＝xB﹣xA=−ak2−a=−a(k+2)2，
∴S△ABC=12×AB×yA
=12×[−a(k+2)2]×（−2a）＝3，
即k+22=3，
解得k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，用点A的纵坐标表示出AB的长度是解题的关键．
17．（4分）“赵爽弦图”是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切关系．在学完我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图后，我校某同学想在逐梦运动场规划出一块活动场地，如图所示，现规划土地由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10m，BE＝24m，则EF的长是 142 m．
【考点】勾股定理的证明；数学常识．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】142．
【分析】先根据线段的差可得EG＝FG＝14m，再由勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，由题意得：AG＝BE＝24m，AE＝10m，∠AGD＝90°，
∴EG＝FG＝AG﹣AE＝24﹣10＝14m，∠EGF＝90°，
由勾股定理得：EF=EG2+FG2=142+142=142（m）．
故答案为：142．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，点E为BC的中点，连接AE，若AE⊥AD，AB＝2AE＝25，CDAD=13，则BC的长为 6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】6．
【分析】延长AD与BC延长线交于点F，过A作AG⊥BF交于G，过D作DH⊥BF交于H，设FH＝CH＝GE＝x，则CF＝2x，根据等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理求得x＝1，即可求解．
【解答】解：如图，延长AD与BC延长线交于点F，过A作AG⊥BF交于G，过D作DH⊥BF交于H，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠ADC＝∠F+∠DCF＝2∠B，
∴∠F＝∠DCF＝∠B，
∴DF＝DC，AF＝AB，
∵AG⊥BF，DH⊥BF，
∴FH＝CF=12CF，BG＝FG=12BF，
∵点E为BC中点，
∴BE＝CE=12BC，
∵BF＝CF+CD＝2FH+2BE，
∴BG=12BF＝FH+BE，
∵BG＝BE+GE，
∴FH＝GE，
设FH＝CH＝GE＝x，则CF＝2x，
∵DC∥AB，
∴DFAD=CFBC，
∵CDAD=13，DC＝DF，
∴DFAD=13，
∴BC＝3CF＝6x，
∴CE＝BE=12BC＝3x，
∴BG＝BE+GE＝4x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：AG2＝AE2﹣GE2＝5﹣x2，
在Rt△AGB中，由勾股定理得：AG2＝AB2﹣GB2＝20﹣16x2，
∴5﹣x2＝20﹣16x2，
∴x＝1，
∴BC＝6x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，正确作辅助线是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．计算：（5）2−(27)13−（﹣22）+20230．
【考点】实数的运算；分数指数幂；零指数幂；二次根式的性质与化简；有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】7．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、分数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（5）2−(27)13−（﹣22）+20230
＝5﹣3﹣（﹣4）+1
＝5﹣3+4+1
＝7．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20．求不等式组x−1＞−3①3x−6≤x②的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】不等式组的整数解为﹣1、0、1、2、3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集然后求出整数解．
【解答】解：x−1＞−3①3x−6≤x②，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3，
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1、2、3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．
（1）求证：△ABC∽△DEB．
（2）若AC＝6，AB＝8，BD＝3，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）根据垂直得到∠A＝∠D＝∠CBE＝90°，利用同角的余角相等得到∠C＝∠DBE，即可证明△ABC∽△DEB；
（2）根据相似三角形的性质得到ACBD=ABDE，代入已知线段长度即可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠D＝∠CBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴ACBD=ABDE，
∵AC＝6，AB＝8，BD＝3，
∴63=8DE，
解得DE＝4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
22．某服装店的一款衬衫，每件成本为50元．经市场调研，该款衬衫每件售价为60元时，每个月可销售200件；若每件的售价每提高1元，该款衬衫每个月的销售量将减少10件．
（1）若这个服装店某月销售该款衬衫150件，求每件衬衫的售价提高了多少元？
（2）若这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，求每件衬衫的售价提高了多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每件衬衫的售价提高了5元；
（2）每件衬衫的售价提高了4元或6元．
【分析】（1）设每件衬衫的售价提高了x元，根据这个服装店某月销售该款衬衫150件，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设每件衬衫的售价提高了y元，根据这个服装店某月销售该款衬衫获利2240元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设每件衬衫的售价提高了x元，
由题意得：200﹣10x＝150，
解得：x＝5，
答：每件衬衫的售价提高了5元；
（2）设每件衬衫的售价提高了y元，
由题意得：（60+y﹣50）（200﹣10y）＝2240，
整理得：y2﹣10y+24＝0，
解得：y1＝4，y2＝6，
答：每件衬衫的售价提高了4元或6元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．如图，已知直线y＝x+6与x轴交于点A、与y轴交于点B，经过原点的直线与直线AB相交于点C（﹣4，2）．
（1）求B点坐标；
（2）求△OBC的面积；
（3）在直线BC上是否存在点M，使△OCM的面积是△AOB的面积的13？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）B（0，6）；
（2）12；
（3）P的坐标为（﹣2，4）或（﹣6，0）．
【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标；
（2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积．
（3）根据已知求得M的横坐标为﹣2或﹣6，通过直线的解析式即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）由直线AB：y＝x+6可知：令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6）；
（2）∵C（﹣4，2），
∴点C与y轴的距离是4，
∵B（0，6），
∴△OBC的面积=12×6×4=12；
（3）存在；
∵直线AB：y＝x+6，
∴A（﹣6，0），B（0，6），
∴S△OBA=12×6×6=18，
∵S△OCM=13S△OBA，
∴S△OCM=13×18=6，
当点M在线段BC上时设M（x，y），
∵S△OCM＝S△OBC﹣S△MBO=12−12×OB×|xM|=6
∴12×OB×|xM|=6，
∴|xM|＝2，
∴M的横坐标为﹣2或2（舍去），
代入直线AB：y＝x+6得，y＝4，
∴M的坐标为（﹣2，4），
当点M在线段BC延长线上时，设M（x，y），
∵S△OCM＝S△MBO﹣S△OBC=12×OB×|xM|−12=6，
∴12×OB×|xM|=18，
∴|xM|＝6，
∴M的横坐标为﹣6或6（舍去），
代入直线AB：y＝x+6得，y＝0，
∴M的坐标为（﹣6，0）．
综上所述：M的坐标为（﹣2，4）或（﹣6，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝6．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P使△ABP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；应用意识．
【答案】（1）A（0，4），B（﹣3，0）；
（2）y＝﹣x2−53x+4；
（3）点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（76，0）．
【分析】（1）令x＝0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的在，进而得到点B的坐标；
（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；
（3）若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可
【解答】解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4），
∵S△OAB=12×BO×4＝6，
∴BO＝3，
∴B（3，0）或（﹣3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（﹣3，0）；
（2）把点B的坐标（﹣3，0）代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+4，
得﹣（﹣3）2+（k﹣1）×（﹣3）+4＝0．
解得k﹣1=−53．
∴所求二次函数的解析式为y＝﹣x2−53x+4．
（3）因为△ABP是等腰三角形，
所以：①如图1，
当AB＝AP时，点P的坐标为（3，0），
②如图2，当AB＝BP时，点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0），
③如图3，
当AP＝BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得x2+42=|x+3|．
解得x=76．
∴点P的坐标为（76，0），
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（76，0）．
【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当△ABP是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．
25．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，BP是∠ABC内的一条射线，点E，F都是BP上的点，已知DE⊥DF且DE＝DF，连接BD，CF．
（1）求证：BE＝CF；
（2）设AC与BP交于点O，求证：tan∠CBF=OCOA；
（3）如图2，当射线BP在∠ABC外部时，其他条件不变，探索AE，DE和CF之间的数量关系，并加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）CF+AE=2DE，理由见解析．
【分析】（1）首先得到△ABC是等腰直角三角形，然后证明出∠A＝∠C＝45°，然后由点D是AC的中点得到△ABD和△BCD是等腰直角三角形，然后证明出△BDE≌△CDF（SAS），即可得到BE＝CF；
（2）过点O作OG⊥BC交BC于点G，首先得到△OGC是等腰直角三角形，得到OG＝GC，然后由AB∥OG得到OCOA=CGBG，然后得到tan∠CBF=OGBG=CGBG=OCOA；
（3）首先同理得到△BDE≌△CDF（SAS），得出BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，然后证明出△ABE≌△BCF（SAS），得到AE＝BF，然后由△DEF是等腰直角三角形得到EF=2DE，进而等量代换求解即可．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵点D是AC的中点，
∴BD＝AD＝CD，
∴△ABD和△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF，
∵DE＝DF，BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF；
（2）证明：如图所示，过点O作OG⊥BC交BC于点G，
∵∠BCA＝45°，
∴∠GOC＝45°，
∴△OGC是等腰直角三角形，
∴OG＝GC，
∵∠ABG＝∠OGC＝90°，
∴AB∥OG，
∴OCOA=CGBG，
∴tan∠CBF=OGBG=CGBG=OCOA；
（3）解：同（1）可证明出△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，
∵∠ABD＝∠BCD＝45°，
∴∠ABE＝∠BCF，
∵AB＝BC，BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∵DE＝DF，DE⊥DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=2DE，
∴BE+BF=2DE，
∴CF+AE=2DE．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点．
考点卡片
1．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．分数指数幂
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称．分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点．
6．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（2）2＝（x+2）（x−2）
7．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
① a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（ a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③ a2=|a|=a (a＞0)0 (a=0)−a (a＜0)（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
10．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
11．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
13．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
14．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
18．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
19．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
22．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
23．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
24．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
27．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
28．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
29．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
30．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
31．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5−12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：5−12．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为5−12．
32．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
33．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
35．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
36．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
37．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
得分
甲
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4分
乙
×
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丙
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4分
丁
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？
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
A
C
D
D
D
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
得分
甲
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4分
乙
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丙
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丁
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