福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案解析）

这是一份福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
1. 已知甲、乙两人同时向目标射击，至少有一人命中的概率为，已知甲射击的命中率为，且甲、乙两人的命中率互不影响，则乙射击的命中率为（ ）
2. 若随机变量，随机变量，则（ ）
3. 甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ）
4. 已知随机变量的分布列为
则（ ）
5. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
6. 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使，记，则且的概率为（ ）
8. 正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
10. 下列说法中，正确的命题是（ ）
11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_______人.
13. 若的展开式中的系数为40，则实数__________.
14. 中最大的数字是__________；中最大的数字是__________．（）
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 已知是等差数列的前n项和，且，
(1)求
(2)若，求数列的前n项和为；
16. 已知函数.
(1)若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
(2)若，，，求的单调区间.
17. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
(1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
(2)将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；
(3)将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，
18. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
其中，
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：，，.
19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率
(1)求曲线在的曲率；
(2)求曲线曲率的最大值；
(3)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.
福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、函数与导数、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．0
B．
C．
D．2
A．6种
B．3种
C．20种
D．12种
0
2
4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．各二项式系数的和为64
B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项
D．常数项是第4项
A．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和．
B．在线性回归模型拟合中，若相关系数的值越小，则样本的线性相关性越弱．
C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大．
D．回归直线方程中，，则样本数据的残差为．
A．
B．过点的切线方程
C．对，不等式恒成立
D．若为函数的极值点，则
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
2017.5
80.4
1.5
40703145.0
1621254.2
27.7
1226.8
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
8
适中
7
较难
1
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率
2
0.85
方差的性质；正态曲线的性质；均值的性质
3
0.94
不相邻排列问题；分步乘法计数原理及简单应用
4
0.85
离散型随机变量的方差与标准差；利用随机变量分布列的性质解题；求离散型随机变量的均值
5
0.65
计算条件概率；利用对立事件的概率公式求概率；利用概率的加法公式计算古典概型的概率；利用全概率公式求概率
6
0.85
由函数在区间上的单调性求参数
7
0.65
互斥事件的概率加法公式；独立事件的乘法公式
8
0.65
分组分配问题；计算古典概型问题的概率；元素（位置）有限制的排列问题；实际问题中的组合计数问题
二、多选题
9
0.85
二项式的系数和；求有理项或其系数
10
0.85
相关系数的意义及辨析；残差的计算；相关指数的计算及分析；根据样本中心点求参数
11
0.15
求过一点的切线方程；导数的运算法则；求已知函数的极值；利用导数研究不等式恒成立问题
三、填空题
12
0.94
正态曲线的性质；指定区间的概率；正态分布的实际应用
13
0.85
由项的系数确定参数；两个二项式乘积展开式的系数问题
14
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；比较函数值的大小关系
四、解答题
15
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；裂项相消法求和；求等差数列前n项和
16
0.65
求已知函数的极值；含参分类讨论求函数的单调区间；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数的单调区间（不含参）
17
0.65
超几何分布的均值；二项分布的均值；独立性检验解决实际问题；二项分布的方差
18
0.65
非线性回归；计算条件概率；求回归直线方程；利用全概率公式求概率
19
0.4
导数新定义；导数的运算法则；用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究方程的根
序号
知识点
对应题号
1
计数原理与概率统计
1,2,3,4,5,7,8,9,10,12,13,17,18
2
函数与导数
6,11,14,16,19
3
数列
15