辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
1. 直线的倾斜角是（ ）．
2. 已知向量，若，则（ ）
3. 在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（ ）
4. 直线与直线平行，则实数值为（ ）
5. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是
6. 已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（ ）
7. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ）
8. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ）

二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
9. 下列说法命题正确的是（ ）
10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ）
11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ）

三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 在多项式的展开式中，的系数为32，则______.
13. 已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则__________.
14. 已知曲线上任意一点，都有的和为定值，则实数的取值范围是__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. （1）已知（为正整数）.展开式的所有项的二项式系数和为64
①求该式的展开式中所有项的系数之和；
②求该式的展开式中无理项的个数；
③求该式的展开式中系数最大的项.
（2）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
①老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
②4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
③2名老师之间必须有男女学生各1人.
16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，且分别为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
(3)求点F到平面的距离.
17. 已知双曲线的离心率为2，实轴的左､右顶点分别为，虚轴的上､下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围.
18. 如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.

(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
19. 已知和为椭圆：上两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.
（i）若的面积为，求直线的方程；
（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.
辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、初中衔接知识点、三角函数与解三角形、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．4
B．3
C．2
D．1
A．7
B．8
C．9
D．10
A．1
B．1或
C．
D．或2
A．12
B．24
C．30
D．36
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．
D．
A．已知，则在上的投影向量为
B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
D．若向量（是不共面的向量）则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
A．
B．以为直径的圆与准线相切
C．直线斜率为
D．
A．的最大值为
B．双纽线是中心对称图形
C．
D．到距离之和的最小值为2c
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
8
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
直线的倾斜角
2
0.94
空间向量垂直的坐标表示；空间向量的坐标运算
3
0.85
二项式系数的增减性和最值
4
0.85
已知直线平行求参数
5
0.94
分类加法计数原理；涂色问题；其他排列模型
6
0.85
由直线与圆的位置关系求参数；由圆的位置关系确定参数或范围
7
0.65
立体几何中的轨迹问题；由线面角的大小求长度
8
0.4
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
9
0.65
空间共面向量定理的推论及应用；空间向量数量积的应用；用空间向量求点的坐标；空间位置关系的向量证明
10
0.65
抛物线定义的理解；与抛物线焦点弦有关的几何性质；判断直线与圆的位置关系；图形的性质
11
0.4
由方程研究曲线的性质；求平面轨迹方程；余弦定理解三角形；基本不等式求和的最小值
三、填空题
12
0.65
由项的系数确定参数；两个二项式乘积展开式的系数问题
13
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；椭圆定义及辨析；双曲线定义的理解
14
0.4
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；求点到直线的距离；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
四、解答题
15
0.65
分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；二项展开式各项的系数和；求系数最大（小）的项
16
0.65
面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；空间位置关系的向量证明
17
0.65
根据离心率求双曲线的标准方程；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
18
0.15
证明线面平行；已知面面角求其他量
19
0.4
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；椭圆中的定值问题；椭圆中三角形（四边形）的面积
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,4,6,7,8,10,11,13,14,17,19
2
空间向量与立体几何
2,7,9,16,18
3
计数原理与概率统计
3,5,12,15
4
初中衔接知识点
10
5
三角函数与解三角形
11
6
等式与不等式
11