辽宁省朝阳市凌源市2024-2025学年高一下学期期末联合考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省朝阳市凌源市2024-2025学年高一下学期期末联合考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ）
A．圆柱B．圆台C．圆锥D．棱柱
4．某电器城为应对即将到来的空调销售旺季，批发了一批新型号空调，其中甲品牌60台，乙品牌45台，丙品牌30台，为了确保产品质量，质检员要在这批空调中采用分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行安全性能检验，若甲品牌空调抽取了12台，则（ ）
A．18B．21C．24D．27
5．已知角均为锐角，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数满足，则的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
7．设命题甲：是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．
二、多选题
9．下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（ ）
A．B．C．0D．1
10．已知，则（ ）
A．的值为或
B．当时，的值为
C．当时，的值为
D．当为第三象限角时，的值为
11．函数为奇函数，函数（ ）
A．实数的值的值为2
B．函数为上的单调递增函数
C．不等式的解集为
D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是
三、填空题
12．化简： ．
13．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心．
14．在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 ．
四、解答题
15．为加强科学教育，某校按照上级要求，开展了科学知识与科技创新比赛．该校将经过初选脱颖而出的10名学生平均分为甲、乙两组，进行加强测试，要求每组的5名学生每个人个人在单位时间内做竞赛题目若干，将每个同学做对题目的个数统计如下表：
(1)分别求出甲、乙两组同学在单位时间内做对题目个数的平均数及方差，并由此分析这两组的水平；
(2)按照上级要求，学校将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学中随机抽取2名学生，若两人做对题目的个数之和不少于19个，则授予该校获得科学教育先进校称号．求该校获得科学教育先进校的概率．
16．已知，函数．
(1)求函数的解析式和单调增区间；
(2)当时，求函数的最小值和最大值．
17．记的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的大小；
(2)若的外接圆半径为2，试确定的关系式，并求的最大值．
18．如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接．
(1)求证：平面
(2)设平面与平面的交线为直线．求证：
(3)若，求二面角的正弦值．
19．若函数的定义域为，且存在实数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称函数具有“性质”
(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出实数的值，若不具有“性质”，请说明理由；
(2)已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；
(3)已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图象与直线有2025个公共点，求实数的取值范围．
1．D
由题意得或，求出即可.
【详解】已知集合，集合．若，则或，
而方程无解，方程的解为，
经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且.
故选：D.
2．C
通过已知等式，将表示为分数形式，利用复数的除法运算法则，将分母实数化，求出.
【详解】
故选：C.
3．A
由圆柱的定义可得答案.
【详解】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱.
故选：A.
4．D
先求出样本容量与总体的比例，再求出各层的个数，从而求得样本容量．
【详解】由，得乙品牌抽取了台，丙品牌抽取了台，
所以
故选：D
5．C
先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角和的余弦公式可求得结果.
【详解】因为角均为锐角，所以，
因为，
所以，，
所以
.
故选：C
6．A
根据已知，代入函数，结合，推出，所以，对绝对值函数单调性进行分段讨论求解.
【详解】由,
所以.
当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增；
当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减.
所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）.
故选：A.
7．C
分别求出甲和乙的充要条件，再对比即可得解.
【详解】若是真命题，所以当且仅当，
即当且仅当，
若函数在上单调递减是真命题，则当且仅当，即当且仅当，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C.
8．D
由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可.
【详解】由题意得
，
等号成立当且仅当，故的最小值为.
故选：D.
9．AB
由复数的几何意义求出实数的取值范围对比选项即可得解.
【详解】若复数对应的点在第三象限，则，解得，
对比选项可知，只有AB符合题意.
故选：AB.
10．ACD
利用同角三角函数得基本关系：，，结合象限符号和的范围依次判断各选项的正误.
【详解】设，则. 代入，得：.
解得：
因为，与同号，故，两解均成立. 故A对.
当时，，故，即.
设，（），则，
此时，，故B错.
当时，，故.
所以，故C对.
当为第三象限角时，，，故.
所以
开方，故D对.
故选：ACD.
11．BCD
对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】对于A，对任意的，，
所以，的定义域为且函数为奇函数，
所以，则，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误；
对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下：
对任意的、且，则，
由可得，
故函数为上的增函数，故B正确；
对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由可得，
根据B项，可得，可得，即，
因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确；
对于D，因为函数，显然，所以有
可得，则，则，
因为
，
令，当时，，
设，所以，，
于是当时，，
对，总，使得成立，
故函数的值域为函数在上的值域的子集，即，
所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
12．
根据三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】.
故答案为：.
13．重
根据向量的线性运算，可得答案.
【详解】由，则，
取的中点为，如下图：

可得，所以动点必定在的中线所在直线上，
即点的轨迹一定通过的重心.
故答案为：重.
14．/
由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案.
【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点，
连接，其中，平面，如下图：
则点是三棱锥的外接圆圆心，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
因为平面，平面，所以，
又，则在平行四边形中，，
易得，则外接球表面积为.
故答案为：.
15．(1)，，，，两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大
(2)
（1）代入平均数与方差公式求其值，比较可得两组学生的总体水平相同，甲组中学生的数学水平差异比乙组大；
（2）由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】（1）依题中的数据可得：
，，
，
，
∵，，
∴两组学生的总体水平相同，甲组中学生的技术水平差异比乙组大.
（2）将从甲、乙两组中做对题目超过7个的同学共有四个，记四名同学为，他们对应的分数为，
样本空间为，共包含6个样本点，
若两人做对题目的个数之和不少于19个，则对应的样本点共2个，即为：，
故所求为.
16．(1)，单调递增区间为
(2)函数的最小值和最大值依次为
（1）由数量积的坐标运算、三角恒等变换化简得函数解析式，由整体代入法求单调递增区间；
（2）先求得的范围，再借助于正弦函数的单调性得到的值域即得.
【详解】（1）由题意
，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）由题意，
所以的取值范围是，
所以的最小值和最大值依次为和1.
17．(1)
(2)，最大值为
（1）根据余弦的和角公式可得，即可代入求解，
（2）根据诱导公式可得，即可利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）由可得，
即，进而得到，
当可得，
由于，故.
（2）由可知为钝角，进而为锐角，
故，因此，
则，
由正弦定理得
，
故当时，此时取最大值.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）根据等腰直角三角形以及直三棱柱的性质，利用线面垂直的性质与判定，可得答案；
（2）根据线面平行的性质与判定，可得答案；
（3）由题意将三棱柱补形为四棱柱，根据线面垂直的性质以及二面角平面角的定义，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案.
【详解】（1）由为的中点，，则，易知，
在三棱柱中，易知，，
则，故，
在三棱柱中，由，则，
由平面，平面，则，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面.
（2）在三棱柱中，，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以.
（3）由题意，将三棱柱补形成四棱柱，如下图：
其中底面为正方形，为的中点，
由（1）可知平面，且，则平面，
在四棱柱中，易知，则平面，
因为平面，所以，
由（1）可知平面，且平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在四棱锥中，平面，
因为平面，所以，
易知，，
所以，则二面角的正弦值为.
19．(1)具有；
(2)答案见解析
(3)或.
【详解】（1）函数具有“性质”；
设，则，
故，则，
则，即，
解得，
故函数具有“性质”，；
（2）函数具有“性质”，则，
当时，，结合当时，，
可得时，，
当时，；
当时，；
（3）函数既具有“性质”，又具有“性质”，
即，且，即函数为偶函数且关于直线对称，
则，故的周期为2；
结合当时，，可得函数图象如图：

直线过点，当时，函数的图象与直线有无数个公共点，不合题意；
当时，要使函数的图象与直线有2025个公共点，
则直线和的在内的每个周期内图象都有2个交点，y轴左侧无交点，
第2025个公共点位于第1013个周期内的区间上的图象上，
当直线过点时，；
当直线过点时，；
则符合题意的k需满足，
同理，结合图象的对称性可得当时，需满足，
即实数的取值范围为或.甲组
5
5
6
9
10
乙组
5
6
7
8
9
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
C
A
C
D
AB
ACD
题号
11









答案
BCD