2024-2025学年北京109中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京109中高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在(x+2x)4的展开式中，常数项为( )
A. 6B. 8C. 12D. 24
2.已知直线l的一个方向向量为a=(2,1)，则过点A(1,−1)且与l垂直的直线方程为( )
A. x−2y−3=0B. x−2y+1=0C. 2x+y−3=0D. 2x+y−1=0
3.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个3点”，则条件概率P(B|A)是( )
A. 12B. 6091C. 518D. 91216
4.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则a+b=( )
A. 0或−7B. −7C. 0D. 7
5.已知(1+x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A. 210B. 211C. 212D. 213
6.将6本不同的书(包括1本物理书和1本历史书)平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是( )
A. 6B. 12C. 18D. 24
7.已知函数f(x)=ln(2−x)+ax在点(1,f(1))处的切线为l，若l与圆(x+2)2+y2=1相切，则a的值为( )
A. 1或 3B. 5或−2C. 1或73D. 2或43
8.若函数F(x)=aex−x2(a∈R)有两个极值点x1，x2，且x1b>0)的离心率为 32，短轴长为2，斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点E，点A关于y轴的对称点为点D，直线BD与y轴交于点G，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)求|OE|⋅|OG|的值．
20.(本小题13分)
已知函数f(x)=ex+csx．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)讨论f(x)在区间(−π,+∞)上的零点个数；
(Ⅲ)若f(m)=n，其中m>0，求证：n−m>2．
21.(本小题13分)
约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a有k个正约数，即为a1，a2，…ak−1，ak，(a1g(0)=0，
所以f(x)−x−2>0，
因为m>0，
所以f(m)−m−2>0，
又f(m)=n，
所以n−m>2．
(Ⅰ)利用导数的几何意义直接求解即可；
(Ⅱ)分x>0以及−π0)，利用导数可得f(x)−x−2>0，再结合f(m)=n，即可得证．
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的零点和不等式的证明问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数．
(Ⅱ)由题意得a1=1，ak=a，ak−1=aa2，ak−2=aa3，
∵k≥4，依题意可知a3−a2a2−a1=ak−ak−1ak−1−ak−2a3−a2a2−a1=a−aa2aa2−aa3，
化简可得(a3−a2)2=(a2−1)2a3，
因此可知a3是完全平方数，由于a2是整数a的最小非1因子，所以a3=a22，
所a2−a1，a3−a2，….ak−ak−1为a2−1，a22−a2，…，a2k−1−a2k−2，
因此a=a2k(k≥3)．
(Ⅲ)a1，a1+a2，a2+a3，…ak−1+ak不是另一个正整数的所有正约数的一个排列．
证明：假设a1，a1+a2，a2+a3…，ak−1+ak是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．
A={a1,a2,⋯,ak}，B={a1,a1+a2,a2+a3,⋯,ak−1+ak}，
易知ai+ai+1≥3(i=1,2,⋯,k−1)，而1∈B，故a1=1，
又知2∈B，所以b是奇数．
所以a1+a2为奇数，又a2∈A，故a2是偶数，
其中A中最大的两个元素为a，a2，
显然B中每个元素都不超过a+a2=3a2，
特别地，b≤3a2，设ai=a，aj=a2，其中i，j≥2(因为a有k(k≥3)个正约数，a1=1)，
于是B中存在两个元素ai−1+ai，aj−1+aj，它们都大于a2，进而都大于b3且都是b的约数．
这表明b可以被2整除，与b为奇数矛盾，因此假设不成立．
所以a1，a1+a2，a2+a3，…ak−1+ak不是另一个正整数的所有正约数的一个排列．
【解析】(Ⅰ)根据题意可知16的所有正因数符合题意；
(Ⅱ)由题意可得a1=1ak=a，ak−1=aa2，ak−2=aa3，根据等比数列的定义可得a3−a2a2−a1=ak−ak−1ak−1−ak−2，分析得a3=a22，则a2−a1a3−a2…ak−ak−1为a2−1a22−a2，…，a2k−1−a2k−2，即可求得结果；
(Ⅲ)假设a11，a1+a2a2+a3，…ak−1+ak是另一个正整数b的所有正约数的一个排列，设A={a1,a2,⋯,ak}B={a1,a1+a2,a2+a3,⋯,ak−1+ak}，可推出b是奇数，b≤3a2，进而可推出b为偶数，从而可知假设错误．
本题考查了等比数列的应用及约数的概念，属于难题．