2024-2025学年甘肃省兰州市学府致远学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省兰州市学府致远学校高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若函数f(x)=lnx+x2，则f′(1)=( )
A. 3B. 12C. 1D. 0
2.下列求导运算结果不正确的是( )
A. (csx)′=sinxB. (lnx)′=1xC. (ex)′=exD. (1x)′=−1x2
3.曲线y=f(x)=xx−1在点(2,f(2))处的切线斜率为( )
A. 2B. −2C. −1D. 1
4.已知点B(−2,1,1)关于z轴的对称点为A，则|AB|等于( )
A. 3 2B. 2 6C. 2 5D. 2
5.如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A. 当x=3时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[−2,1]上是增函数
C. 当x=1时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[−1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数
6.在空间直角坐标系中，有A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(1,2,3)三点，则点C到直线AB的距离为( )
A. 615B. 75C. 4 55D. 7 55
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是C1D1的中点，则异面直线D1M与DN所成角的余弦值为( )
A. 12B. 35C. 34D. 45
8.若函数f(x)=aex−x3在区间(1,3)上单调递增，则实数a的最小值为( )
A. 3eB. 12e3C. 12e2D. 27e3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱ABC−A1B1C1，AB⊥BC，|BA|=|BC|=|BB1|=2，F是棱CC1的中点，则( )
A. A(2,0,0) B. C(2,0,0)
C. C1(2,0,0) D. F(0,2,1)
10.已知空间中三个向量a=(1,2,−1)，b=(1,−2,3)，c=(−2,1,1)，则下列说法正确的是( )
A. |a|= 6B. (a+c)⊥b
C. b在c上的投影向量为(13,16,16)D. cs〈a,b〉=− 217
11.已知f(x)=ax3−3x+1(a≠0)( )
A. 当a=2时，x= 22是f(x)的极大值点
B. 当a=2时，f(x)的所有零点之和为0
C. 直线y=−3x+1是f(x)的切线
D. 存在a使f(x)在(−1,1)上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2x2+x，则f′(2)= ______．
13.已知x∈R，空间向量a=(3,1,2)，b=(1,1,−1)，c=(5,x,0).若a，b，c共面，则x= ______．
14.若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3−ax+13,a∈R，且满足f′(2)=0．
(1)求实数a的值；
(2)求函数y=f(x)的极值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x−1ex．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求f(x)的最值．
17.(本小题15分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是BC1的中点．
(1)求证：BC1⊥平面CDE；
(2)求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=2DC=4，E是棱PA的中点．
(1)求证：PC//平面BDE；
(2)求平面BDE与平面BDP夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x22+alnx−(a+1)x．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若a≥0,f(x)≥−e22对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.C
5.D
6.D
7.D
8.C
9.AD
10.AD
11.BC
12.9
13.3
14.[− 3, 3]
15.(1)函数f(x)=13x3−ax+13，则f′(x)=x2−a，
所以f′(2)=4−a=0，解得a=4．
(2)由(1)可知，f(x)=13x3−4x+13，f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，
令f′(x)=0，则x=−2或x=2．
当x2时，f′(x)>0；当−2