2024-2025学年河北省邯郸市部分学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省邯郸市部分学校高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( )
A. 48种B. 36种C. 24种D. 12种
2.计算3C86+A62的值为( )
A. 114B. 99C. 142D. 198
3.已知等差数列{an}的公差为−2，且a2+a4+a6=39，则a5=( )
A. 9B. 11C. 13D. 15
4.已知函数f(x)=alnx+12x2−6x+4在定义域内单调递增，则a的取值范围是( )
A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (9,+∞)D. [9,+∞)
5.在等比数列{an}中，a1+a2=6，若a1，a2+3，a3成等差数列，则{an}的公比为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.已知函数f(x)=ax2x−1(x>1)有最大值−8，则a的值为( )
A. −2B. −4C. −8D. −12
7.用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有( )
A. 240
B. 480
C. 420
D. 360
8.将数列{2n−1}和{3n}中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列{an}(若有相同元素，按重复方式计入排列)，则数列{an}的前50项和为( )
A. 2160B. 2240C. 2236D. 2490
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式(x−2)6的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 常数项为−64B. 含x的系数为−192
C. 所有的二项式系数之和为64D. 所有项的系数之和为−1
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若{an}为等差数列，则{Snn}是等差数列
B. 若{an}为等差数列，则Sn，S2n，S3n成等差数列
C. 若{an}为等比数列，则“m+n=p+q，m，n，p，q∈N∗”是“am⋅an=ap⋅aq”的充分不必要条件
D. 若{an}是公比为q的等比数列，则S2n=(1+qn)Sn
11.已知函数f(x)=x2+e2x−3−axex，则下列说法正确的是( )
A. 若f(x)恰有3个零点，则a=e+1e2
B. 若f(x)恰有3个零点，则a=e2+1e3
C. 若f(x)恰有4个零点，则a的取值范围是(e−32,e+1e2)
D. 若f(x)恰有4个零点，则a的取值范围是(2e−32,e+1e2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(1−1x)(x+1)5的展开式中x3的系数是______.(用数字作答)
13.在数列{an}中，a1=1，2an+1⋅an+nan+1=(n+1)an，则a2024= ______．
14.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，若对任意的x∈R，都有f′(x)x2的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−4x2−ax+b的图象在x=0处的切线方程为16x+y−2=0．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的极值．
16.(本小题15分)
若(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a3=80．
(1)求m的值；
(2)求(a0+a2+a4)2−(a1+a3+a5)2．
17.(本小题15分)
(1)7名学生站成一排照相留念，其中男生5人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？
(2)某兴趣小组有10名同学，其中男生6名，女生4名，现要从中选取3人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
(3)从0，1，3，5中任取2个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an+2n−6．
(1)证明：{an−1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)记bn=(−1)n(4an−2)anan+1，记数列{bn}的前n项和为Tn．
①求T2n；
②若存在n∈N∗，使得λ≥Tn，求λ的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2xlnx−a(x2−1)(a∈R)．
(1)若a=1，求证：f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)若f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：1+12+13+…+1n>ln(n+1)+n2(n+1)(n∈N∗)．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.B
6.A
7.C
8.C
9.BC
10.ACD
11.AD
12.5
13.20244047
14.(0,e)
15.(1)由题意知导函数f′(x)=3x2−8x−a，
又f(x)=x3−4x2−ax+b的图象在x=0处的切线为16x+y−2=0，
因此函数f(x)在(0,b)处切线斜率为−16，
因此f′(0)=−a=−16，解得a=16，又因为f(0)=b=2，
因此a=16，b=2．
(2)根据第一问知导函数f′(x)=3x2−8x−16，令f′(x)=0，解得x=4或x=−43，
当−43−14，
T2n−1=T2n−a2n=−14+132n+1+1−(132n+1+132n+1+1)=−14−132n+1，
而数列{−14−132n+1}单调递增，则T2n−1≥T1=−14−110=−720，
因此Tn≥−720，由存在n∈N∗，使得λ≥Tn，得λ≥−720，
所以λ的取值范围是[−720,+∞)．
19.解：(1)证明：由a=1，那么函数f(x)=2xlnx−(x2−1)，
因此导函数f′(x)=2+2lnx−2x，令函数ℎ(x)=2+2lnx−2x，
那么导函数ℎ′(x)=2x−2，令ℎ′(x)=0，则x=1，
因此x∈(1,+∞)，导函数ℎ′(x)0，ℎ(x)在x∈(0,1)单调递增，
因此导函数f′(x)=ℎ(x)≤ℎ(1)=2+0−2=0，
那么函数f(x)在x∈(0,+∞)单调递减；
(2)根据f(x)≤0在[1,+∞)恒成立，
那么a(x−1x)−2lnx≥0在[1,+∞)恒成立，
令函数g(x)=a(x−1x)−2lnx≥0在[1,+∞)恒成立，
导函数g′(x)=a(1+1x2)−2x=ax2−2x+ax2，令函数ℎ(x)=ax2−2x+a，
当a≤0时，函数ℎ(x)=ax2−2x+a，a≤0，x2≥1，因此ℎ(x)0，
如果根的判别式Δ=(−2)2−4a2=4−4a2≤0，即a≥1，
当a≥1时，x∈[1,+∞)，根的判别式Δ=4−4a2≤0，函数ℎ(x)=ax2−2x+a≥0，
因此导函数g′(x)≥0，那么函数g(x)=a(x−1x)−2lnx在[1,+∞)单调递增，
因此g(x)≥g(1)=0，因此a≥1．
如果根的判别式Δ=4−4a2>0，即0ln(k+1)−lnk，k=1，2，⋯，n，
则n个不等式相加ln(n+1)ln(n+1)+n2(n+1)n∈N∗．