广东省潮州市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省潮州市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）米/秒
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.
故选：B.
2. 设函数的定义域为R，若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. 6D. 14
【答案】D
【详解】因为曲线在处的切线方程为，
所以，，
所以．
故选：D.
3. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则（ ）
A. 0.25B. 0.3C. 0.35D. 0.4
【答案】C
【详解】由表中数据，计算得：，，
又线性回归方程过样本中心点，所以，解得.
故选：C.
4. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，故，即，，
解得，故，即渐近线方程是，故D正确.
故选：D
5. 从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ）
A. 140种B. 44种C. 70种D. 252种
【答案】C
【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.
故选：C.
6. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，
则所有可能情况有，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共个结果.
其中包含共个基本事件，
包含共个基本事件，
所以，，所以.
故选：C
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
B. 若随机变量ξ，η满足，则
C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D. 若随机变量X服从两点分布，，则
【答案】A
【详解】A选项，，故可判断X与Y有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.05，故A正确．
B选项，若随机变量ξ，η满足，则，故B错误；
C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，
故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，故C错误；
D选项，随机变量X服从两点分布，设，由
得：，显然不是方程的解，故D错误．
故选：A.
8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】不等式可化为，
设，则原不等式可化为，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
所以．
故不等式的解集为.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有6项B. 展开式的各项系数之和为
C. 展开式的第2项是D. 展开式的各二项式系数之和为32
【答案】ABD
【详解】由可知的展开式共有6项，故选项A正确；
令，则，故选项B正确；
展开式中的第2项是，故选项C错误；
展开式的二项式系数和为，故选项D正确.
故选：ABD.
10. 设函数的导函数为，则（ ）
A. B. 是函数的极值点
C. 存在两个零点D. 在上单调递增
【答案】AD
【详解】因为，所以，
所以函数在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故选项B错误，选项D正确；
将代入得，故选项A正确；
令，得，
中，，所以恒成立，
则只有一个零点，即，故选项C错误.
故选：AD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 点B到直线的距离为
D. 平面截正方体的截面的面积为5
【答案】ABC
【详解】依题意，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
∴，，，
∴，故选项A正确；
∵三棱锥的体积，故选项B正确；
∵，，∴，
∴点B到直线的距离为，故选项C正确；
记的中点为F，连接，，则，∴，，
∴，∴，，∴A，E，，F四点共面，
即平行四边形为平面截正方体的截面.
由勾股定理易得，∴平行四边形是菱形.
又，∴，，
∴，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知等差数列中，，则________．
【答案】6
【详解】在等差数列中，.
又∵，∴.
故答案为：6.
13. 某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______.
【答案】##0.6
【详解】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以.
故答案为：.
14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___.
【答案】-3
【详解】解:
令，得，切点为，
令，得，切点.
切线方程为代入，可得则
令，则,当时，，当时，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴即b的最大值为-3.
故答案为：-3.
四、解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知在时有极值0．
（1）求常数，的值；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1），；
（2）最小值为0，最大值为4
【小问1详解】
，
由题知：,
解得或．
因为，故舍去；
当时，，
当时，，当时，，当时，，
所以在处有极小值，
所以，，符合题意.
【小问2详解】
由（1）可知，函数在和上单调递增，在上单调递减．
函数在取得极大值，在取极小值；
因为，
所以，，，，
所以最小值为0，最大值为4
16. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）
（2）或
【小问1详解】
抛物线的焦点为，直线的方程为．
设，，由得，
则，故．
所以．
由题设知，解得（舍去）或，
因此的方程为．
【小问2详解】
由（1）得，则的中点坐标为，
所以的垂直平分线的方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则圆的半径为，
则，解得或，
因此所求圆的方程为或．
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
（1）∵，E是的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.
∵平面，∴.
∵平面，平面，∴.
又，，平面，∴平面.
【小问2详解】
∵平面，，∴平面.
∵，平面，∴，.
∵平面，，平面，∴，.
故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
∵，∴，
即直线与平面所成角的大小为.
18. 已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值．
附：若，取，．
【答案】（1）0.09；
（2）.
【小问1详解】
记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为，所以，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
【小问2详解】
从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则，
所以．
由，解得．
所以当时，；
当时，；所以最大．
因此当时，最大．
19. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知数列满足，且.
（i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值.
参考数据：，，.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析，；（ii）2
【小问1详解】
函数的定义域为，
由题意可得.
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故.
【小问2详解】
（i）因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故.
（ii）由，且，可得，
则即，
而，
又，
由（1）可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故 ，所以，则，故最小值为.x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5