初中数学•中考压轴题复习资料 专题16《对角互补模型》 练习

这是一份初中数学•中考压轴题复习资料 专题16《对角互补模型》 练习，共27页。试卷主要包含了全等型之“90°”，全等型之“120”等内容，欢迎下载使用。
1．全等型之“90°”
如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，则
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC；
（3）．
证明 方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．
由角平分线的性质可得CM＝CN，∠MCN＝90°．
所以∠MCD＝∠NCE，
从而△MCD≌△NCE（ASA），
故CD＝CE．
易证四边形MONC为正方形．
所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝OC．
所以．
方法二：如图，过C作CF⊥OC，交OB于点F．
易证∠DOC＝∠EFC＝45°，CO＝CF，∠DCO＝∠ECF．
所以△DCO≌△ECF（ASA）
所以CD＝CE，OD＝FE，
可得OD＋OE＝OF＝．
所以．
【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则：
（1）CD＝CE；
（2）OE－OD＝OC；
（3）．
如图，证明同上．
2．全等型之“120”
如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，则：
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC；
（3）．
证明 方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N．
所以
易证△MCD≌△NCE（ASA），
所以CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC．
方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝60°，交OB于点F，则△OCF为等边三角形．
易证△DCO≌△ECF（ASA）．
所以CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC，
∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝OC 2
【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：
（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝OC；（3）S△OCD－S△OCE＝OC 2
如图，证明同上．

3、全等型之“任意角”
如图，∠AOB＝2，∠DCE＝180°－2，OC平分∠AOB，则：
（1）CD＝CE；（2）OD＋OE＝2OC·cs；（3）S△ODC＋S△OEC＝OC 2·sincs
证明：方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N
易证△MCD≌△NCE（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cs
∴S△ODC＋S△OEC＝2S△ONC＝OC 2·sincs
方法二：如图，以CO为一边作∠FCO＝180°－2，交OB于点F．
易证△DCO≌△ECF（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cs
∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC 2·sincs
【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：
（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cs；（3）S△ODC－S△OEC＝OC 2·sincs
如图，证明同上

4、相似性之“90°”
如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，则CE＝CD·tan
方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N
易证△MCD∽△NCE，∴，即CE＝CD·tan
方法二：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于点F．

易证△DCO∽△ECF，∴，即CE＝CD·tan
方法三：如图，连接DE．
易证D、O、E、C四点共圆
∴∠CDE＝∠COE＝，故CE＝CD·tan
【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE＝CD·tan

如图，证明同上．

例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？
（2）如图2，若∠BAC＝，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？

解：（1）BD＋CD＝AD

如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F．
由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30°
易证△AEB≌△AFC
∴BD＋CD＝2DE＝AD
⑵BD＋CD＝2ADsin．
如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延长线于点E．
D
F
B
E
O
A
C
图4
则△EBA≌△DCA，所以BE＝CD，AE＝AD．
作AF⊥DE于点F，则∠FAD＝．所以BD＋CD＝DE＝2DF＝2ADsin．
例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F．
⑴求证：PA＝PE；
⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD＝10，CD＝8，求AP：PE的值；
⑶如图3，在⑵的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？
图3
A
D
B
E
P
F
C
A
D
B
P
C
E
图2
A
D
P
B
E
C
图1
解：⑴如图4，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．
则PM＝PN，∠MPN＝90°，由已知条件可得∠APE＝90°，所以∠APM＝∠EPN，所以△APM≌△EPN．
故AP＝PE．
图4
A
D
P
B
E
C
N
M
⑵如图5，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．则PM∥AD，PN∥CD．
所以△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD．可得，所以．
易证△APM∽△EPN，所以．
图5
A
D
B
P
C
E
N
M
⑶AP：PF的值不变．[如图，理由同⑵]
图6
A
D
B
E
P
F
C
M
N
进阶训练
1．如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD，其中∠BAD和∠BCD都是直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABCD的面积为_________．
A
B
C
D
第1题图
答案：四边形ABCD的面积为2．
【提示】易证A、B、C、D四点共圆，则∠BCA＝∠BDA＝∠ABD＝∠ACD，由“全等型之‘90°’”的结论可得S四边形ABCD＝AC2＝2．
2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是BC边的中点，∠EDF＝120°，DE与AB边相交于点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F．
第1题图1
A
E
F
C
D
B
A
E
F
C
D
B
N
第1题图2
⑴如图1，DF与AC边相交于点F，求证：BE＋CF＝AB；
⑵如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝（BE－CF）．
答案：略．
【提示】⑴过点D作DG∥AC交AB于点G，证△DEG≌△DFC，从而BE＋CF＝BE＋EG＝BG＝AB．
第1题答图1
A
E
F
C
D
B
G
⑵过点D作DG∥AC交AB于点G，同⑴可得BE－CF＝AB＝DC＝，延长AB至点H，使得BH＝CF，则DH＝DF＝DE，从而BE＋CF＝HE＝DE＝×DN＝2DN，所以BE＋CF＝（BE－CF）．
第1题答图2
A
E
F
C
D
B
N
H
G
3．在菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON＋∠BCD＝180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交BC于点E，射线ON交CD于点F，连结EF．
⑴如图1，当∠ABC＝90°时，△OEF的形状是____；
⑵如图2，当∠ABC＝60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
⑶如图3，在⑴的条件下，将∠MON的顶点移动到AO的中点O'处，∠MO'N绕点O'旋转，仍满足∠MO'N＋∠BCD＝180°，射线O'M交直线BC于点E，射线O'N交直线CD于点F，当BC＝4，且时，求CE的长．
第3题图1
A
D
B
C
O
M
E
F
N
A
B
C
D
O
F
E
M
N
第3题图2
A
D
B
C
O
O'
第3题图3
答案：⑴等腰直角三角形；⑵△OEF是等边三角形；⑶线段CE的长为3＋3或3－3．
【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得OE＝OF．⑶两种情况，如图：
第3题答图
A
D
B
C
O
O'
F
N
E
M
E'
M'
F'
N'