内蒙古呼和浩特市回民区2023_2024学年高二数学下学期期中测试试题含解析

这是一份内蒙古呼和浩特市回民区2023_2024学年高二数学下学期期中测试试题含解析，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
符合题目要求的.
1. 已知数列 的通项公式为 ，则数列 是（ ）
A. 以 1 为首项， 为公比的等比数列 B. 以 3 为首项， 为公比的等比数列
C. 以 1 为首项，3 为公比的等比数列 D. 以 3 为首项，3 为公比的等比数列
【答案】A
【解析】
【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.
【详解】因为 ， ，所以数列 是以 1 为首项， 为公比的等比数列.
故选：A
2. 已知 ， ，则 等于（ ）．
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件概率公式直接计算即可.
【详解】 .
故选：A.
3. 已知 是递增的等比数列，且 ，则其公比 满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】先确定 ,由 得 ,根据 的单调性确定 的取值范围.
【详解】 是等比数列，故 ，当 时， 各项正负项间隔,为摆动数列,故 ,显然
，
由 得 ，又 是递增的等比数列，故 为递减数列,由指数函数的单调性知
.
故选:D
4. 在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 2 023 B. -2 023 C. -2 024 D. 2 024
【答案】C
【解析】
【分析】设 公差为 ，可得出 也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从
而得出答案.
【详解】由 是等差数列，设公差为 ，则
所以 ， （常数），则 也为等差数列.
由 ，则数列 的公差为 1.
所以
所以 ，所以
故选：C
5. 疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，
一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
未发病 发病 总计
未注射疫苗 30
注射疫苗 40
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总计 70 30 100
附表及公式：
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
， ．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为 0.5，则下列判断正确的是（ ）
A. 注射疫苗发病的动物数为 10
B. 某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为
C. 能在犯错概率不超过 0.005 的前提下，认为疫苗有效
D. 该疫苗的有效率约为 80%
【答案】ABD
【解析】
分析】完善列联表可直接判断 A，计算比例后判断 BD，计算 判断 C．
【详解】完善列联表如下：
未发病 发病 总计
未注射疫苗 30 20 50
注射疫苗 40 10 50
总计 70 30 100
由列联表知，A 正确，
，B 正确，
，
不能在犯错概率不超过 0.005 的前提下，认为疫苗有效，C 错误；
疫苗的有效率约为 ，D 正确．
故选：ABD．
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6. 8 支步枪中有 5 支已经校准过，3 支未校准，一名射手用校准过 枪射击时，中靶的概率为 0.8，用未校
准的步枪射击时，中靶的概率为 0.3，现从 8 支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解.
【详解】设事件 A 表示“射击时中靶”，事件 表示“使用的枪校准过”，事件 表示“使用的枪未校准”，则
， 是 的一个划分．
， ， ， ，
根据全概率公式得
，
所以 ．
故选:B．
7. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､
乙两个品种的茶青每 500 克的红茶产量（单位：克）分别为 ，且 ，其
密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A. 的数据较 更集中
B.
C. 甲种茶青每 500 克的红茶产量超过 的概率大于
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D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.
【详解】对于 A，Y 的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于 B，因为 c 与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于 C， ， 甲种茶青每 500 克超过 的概率 ，正确；
对于 D，由 B 知： ，错误；
故选：D.
8. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为 A 系列、B 系列 C 系列，其中 B 系列的幅面规格为： ，
， ，…， ，所有规格的纸张的长度（以 表示）和幅宽（以 y 表示）的比例关系都为
；将 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 规格；将 纸张沿长度方向对开成两等分，
便成为 规格；…，如此对开至 规格．现有 ， ，…， 纸各一张，已知 纸的幅宽为 1m，则
， ，…， 这 8 张纸的面积之和是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析出 ， ，…， 的面积的规律，根据等比数列前 项和公式求得正确答案.
【详解】由题意，可得 的长、宽分别为 ，1，
的长、宽分别为 1， ，
的长、宽分别为 ， ，…，
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所以 ， ，…， 的面积是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， ，…， 这 8 张纸的面积之和为 .
故选：C
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A. 事件“甲投得 1 点”与事件“甲投得 2 点”是互斥事件
B. 事件“甲、乙都投得 1 点”与事件“甲、乙不全投得 2 点”是对立事件
C. 事件“甲投得 1 点”与事件“乙投得 2 点”是相互独立事件
D. 事件“至少有 1 人投得 1 点”与事件“甲投得 1 点且乙没投得 2 点”是相互独立事件
【答案】AC
【解析】
【分析】根据互斥事件及相互独立事件的概念，即可判断出选项 A、B 和 C 的正误，对于选项 D，利用相
互独立的概率公式即可判断出结果的正误.
【详解】对于选项 A，因为甲掷一枚骰子，事件“甲投得 1 点”与事件“甲投得 2 点”不可能同时发生，由互斥
事件的概念知，所以选项 A 正确；
对于选项 B，甲、乙各投掷一枚骰子，事件“甲、乙都投得 1 点”与事件“甲、乙不全投得 2 点”可以同时发生，
所以选项 B 错误；
对于选项 C，因为事件“甲投得 1 点”与事件“乙投得 2 点”相互间没有影响，所以选项 C 正确．
对于选项 D，至少一人投 6 点的事件为 M，则 ，
甲投 1 点且乙没投得 2 点事件为 N，则为 ， ，
，故选项 D 错误．
故选：AC.
10. 数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是递减数列 B.
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C. 当 时， D. 当 或 时， 取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得数列 的通项公式为 ，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由数列 的前 项和为 ，
当 时， ，
又由 ，适合上式，
所以数列 的通项公式为 ，
对于 A 中，由 ，即 ，所以数 是递减数列，所以 A 正确；
对于 B 中，由 ，所以 B 错误；
对于 C 中，当 时， ，所以 C 正确；
对于 D 中，因为 的对称轴为 ，开口向下，
又因为 是正整数，且 或 时， 取得最大值，所以 D 正确.
故选：ACD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量 服从二项分布 ，且 ，则
B. 随机事件 相互独立，满足 ，则
C. 若 ，则
D. 设随机变量 服从正态分布 ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据二项分布的数学期望和方差的公式可判断选项 A，根据条件概率和事件的独立性即可判断选
项 B、C；由正态分布可判断选项 D.
【详解】A 选项，因为 ，所以 ，
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则 ，故 A 错误；
B 选项，因为随机事件 相互独立，则 与 也相互独立，
，
求解易知 错误；
C 选项，由条件概率定义
易知 ，又因为 ，所以 ，故 C 正确；
D 选项，随机变量 服从正态分布 ，
可得 ，
则 ，故 D 正确.
故选：CD
12. 设一个正三棱柱 ，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面 ABC 的某顶点出发，每次只沿着
棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行 n 次，仍然在上
底面的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意假设蚂蚁爬 次仍在上底面的概率为 ，那么它前一步只有两种情况：也许本来就在上
底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是 ；也许是上一步在下底面，则第 步不
在上底面的概率是 ，如果爬上来，其概率应是 ．两件事情是互斥的，因此，
，整理得， ；构造等比数列 ，即求出 ，从而计算可得．
【详解】解：显然 ， .
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蚂蚁爬 次仍在上底面的概率为 ，那么它前一步只有两种情况：
：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是 ；
：如果是上一步在下底面，则第 步不在上底面的概率是 ，如果爬上来，其概率应是
.
， 事件互斥，因此， ，整理得 ，
即 ，
所以 为等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ，∴ .
所以 .
故选：AD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13. 已知数列 为等差数列， ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，然后根据已知条件列方程组可求出 ，从而可求出 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：
14. 已知随机事件 ， 有概率 ， ，条件概率 ，则 ______.
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【答案】0.82
【解析】
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】∵ ，∴ ， .
由乘法公式得 .
∴ .
故答案为：0.82.
15. 已知等比数列 有 项， ，所有奇数项的和为 85，所有偶数项的和为 42，则 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】设等比数列的公比为 ，由已知条件列方程组可求出 ，再由前 项的和为 127 列方程可
求出 .
【详解】设等比数列的公比为 ，则由题意得
，
所以 ，得 ，
所以比数列 前 项和为
，
得 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：3
16. 在数列 中， ， ，则通项公式 ____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用累加法即可求解.
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【详解】∵ ，
∴ ，
，
，
…
.
以上 个等式相加，得 ．
．
检验：当 时， 也成立.
所以，数列 的通项公式 .
故答案 ： .
四、解答题：本小题共 6 小题，17 题 10 分，其他题目均为 12 分，共 70 分.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知随机变量 的分布列如表：
0 1 2
0.4
若 ，离散型随机变量 满足 ，求：
（1） 的值；
（2） 的值.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
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【分析】（1）由概率和为 1 和 列出方程组可求出 的值；
（2）根据分布列先求出 ，然后根据平均数和方差的性质可求得答案.
【小问 1 详解】
由分布列的性质，可得 ，解得 ①，
因为 ，所以 ，即 ②，
联立①②解得 ，
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
.
18. 已知等差数列 ，前 项和为 ，又 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.
（2）由 ，令 求出 的取值范围，再分段求出数列 的前 项和
【小问 1 详解】
设等差数列的公差为 ，首项为 ，
因为 ，所以 ，
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所以 ，由 ，解得 ，
又 ，所以 ；
【小问 2 详解】
设 ， 的前 项和为 ，得 ，
，得
当 时， ，即 ，所以
当 时，得 ，所以 ，
则
综上所述：
19. 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中
随机抽取了 100 名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分 100 分，并将得分分成以下 6 组：
、 、 、…、 ，统计结果如图所示：
（1）试估计这 100 名学生得分的平均数；
（2）从样本中得分不低于 70 分的学生中，用分层抽样的方法选取 11 人进行座谈，若从座谈名单中随机抽
取 3 人，记其得分在 的人数为 ，试求 的分布列和数学期望；
（3）以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分 X 近似地服从正态分布
，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 .所有参加知识竞赛的
2000 名学生中，试问得分高于 77 分的人数最有可能是多少？
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参考数据：， ，
.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这 100 名学生得分的平均数
.
（2）
解：参加座谈的 11 人中，得分在 的有 人，
所以 的可能取值为 ， ， ，
所以 ， ， .
所以 的分布列为
0 1 2
∴ .
（3）解：由（1）知， ，
所以 .
得分高于 77 分的人数最有可能是 .
20. 已知在数列 中， ，前 项和 .
（1）求 、 ；
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（2）求数列 的通项公式；
（3）设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 的关系即可逐一求解，
（2）利用 的关系，作差可得 ，进而利用累乘法即可求解，
（3）由裂项求和即可求解.
【小问 1 详解】
由 及 得 ，
由 及 、 得 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，整理得 ，
∴ ，
验证，当 时符合，∴当 时， ；
【小问 3 详解】
由（2）可知 ，
∴ ，
21. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据 9×9 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格
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的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含 1～9，且不重复．数独爱好者小明打算
报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据 ：
1 750 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归方程 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为 ， .
（1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度 y(秒/题)与训练天数 x(天)有关，经统计得到如
下数据：
x(天) 1 2 3 4 5 6 7
y(秒/题) 910 800 600 440 300 240 210
现用 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；( ， 用分数表示)
（2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约
定先胜 3 局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为 ，且各局之间相互独立，设比赛 X 局后结束，求随机
变量 X 的分布列及均值．
【答案】（1） .
（2）分布列见解析，均值
【解析】
【分析】（1）由 得出 ，由参考公式求解出 ，从而求出 y 和 x
的回归方程；
（2）根据随机变量 X 的可能取值逐一分析，当 X=3 时，小明连胜 3 局或小红连胜 3 局；当 X=4 时，小明
前 3 局胜 2 局最后一局胜或小红前 3 局胜 2 局最后一局胜；当 X=5 时，小明前 4 局胜 2 局最后一局胜或小
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红前 4 局胜 2 局最后一局胜；分别求出每个取值的概率.最后代入期望公式计算即可.
【小问 1 详解】
解:因为 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以所求回归方程为 .
【小问 2 详解】
解：随机变量 X 的所有可能取值为 3，4，5，
，
，
.
所以随机变量 X 的分布列为
X 3 4 5
P
.
22. 已知数列 、 满足 ， ， ， .
（1）证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，求 ，并证明： .
【答案】（1）证明见解析，
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（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知等式变形可得出 ，利用等差中项法可证得结论成立，确定数列
的首项和公差，可求得数列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得 ，分析数列 的单调性，即可证得结论成立.
【小问 1 详解】
因为 ， ，则 ，
等式 两边同时乘以 可得 ，
即 ，所以，数列 是等差数列.
且 ， ，等差数列 公差为 ，
所以， ，故 .
【小问 2 详解】
数列 的前 项和为 ，且 ，
则 ，
所以， ，
两式相减可得
，
所以 .
又 ，即 为单调递增数列，
所以 ，即
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