新疆喀什地区疏附县2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷

这是一份新疆喀什地区疏附县2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷，共10页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学
（考试时间120分钟，满分150分）
一、单选题(第 1-8 题，每一小题只有一个选项符合要求，每小题 5 分）。
1．向量化简后为( )
A.B.C.D.
2．已知，则z的虚部为( )
A.-2B.2C.-2iD.2i
3．已知向量，，若，则等于( )
A.3B.C.D.
4．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，则D.若，，，则
5．已知参加数学竞赛决赛的14人的成绩分别为78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，83，90，91，则这14人成绩的第70百分位数是( )
A.84 B.85 C.86 D.87
6．甲、乙两校各有2名教师报名支教,若从报名的4名教师中任选2名,则选出的2名教师来自不同学校的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知向量，，若，则( )
A. B. C.1 D.2
8．在直三棱柱中,,,,则该三棱柱外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题（第 9-11 题，每小题满分 6 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的每选项得 2 分，有错误选项得 0 分）
9．如图，在正方体中，点E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是( )
A.直线EF与为异面直线B.直线与所成的角为
C.D.平面
10．已知复数,则 ( )
A.z在复平面内对应的点在第二象限B.
C. D.的虚部为
11．如图,点D、E、F分别为的边、、的中点,且,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C. D.
三、填空题（第 12-14 题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知向量,,满足,则 __
13．杨村四中为了解学生对我校前期校园艺术节活动的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生720人，则该高中的学生总数为 人．
14．正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为__________.
四、解答题（本大题共有5个小题，第15 题13分，第 16、17 各15分，第18，19 题各17 分）．
15．(1)已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，求
(2)已知向量,,满足,,,求向量与的夹角.
16.已知复数，为虚数单位，
(1)求；
(2)若为纯虚数，求实数的值；
(3)若为复数方程的一个解，求实数p和q的值.
17. 记△ABC的内角的对边分别为，已知向量，，且.
(1)求；
(2)若△ABC的面积为，且，求.
18. 学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，，，，，，，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求实数的值；
（2）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；
（3）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在，的概率．
19．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面．
(1)求证：平面；
(2)已知，
（ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积．
（ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值；
参考答案
1．答案：B
解析：，
故选：B.
2.答案：A
解析：因为，所以，
所以z的虚部为-2.
故选:A.
3.答案：C
解析：因为，，且，所以，解得，所以.
所以.故选C.
4.答案：B
解析：A.若，，则或，故A错误；
B.若，，，则，故B正确；
C.若，，则或与相交，故C错误；
D.若，，，则或异面，故D错误.
故选：B
5.答案：C
解析：把成绩按从小到大的顺序排列为56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94.因为，所以这14人成绩的第70百分位数是86.故选C.
6.答案：A
解析：设甲校报名支教的两名教师为,,乙校报名支教的两名教师为,,
从这报名的4名教师中任选2名,
共有,,,,,这6种情况,
选出的2名教师来自不同学校共有,,,,这4种情况,
所以所求概率为.
7.答案：D
解析：方法一：因为，所以，则，即，解得，故选D.
方法二：因为，又，所以，则，解得，故选D.
8.答案：B
解析：在中,,即,
则外接圆的半径为,
则直三棱柱外接球的半径为,
外接球的表面积为.
9.答案：ABD
解析：如图所示，连接，，，由于E，F分别为，的中点，
所以，又平面，平面，所以平面，D正确；
因为，所以EF与共面，而，所以直线EF与为异面直线，A正确；
连接，易得，
所以（或其补角）即为直线与所成的角，
由于为等边三角形，所以，所以B正确；
假设，由于，，所以平面，而平面显然不成立，故C错误.故选ABD.
10.答案：BC
解析：对于A选项,因为,则复数z在复平面内对应的点为,位于第四象限,A错;
对于B选项,,故,B对;
对于C选项,,C对;
对于D选项,,故的虚部为,D错.
故选:BC.
11.答案：ABC
解析：在中,,故A正确;
,故B正确;
,故C正确;
,故D不正确.
故选：ABC.
【答案】6
解析：因为,, 所以
13.【答案】2880
【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了15人,12人，可得高三年级抽取了9人，
又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，
设该校共有名学生，可得，解得（人），
即该校共有名学生.
故答案为：.
14.答案：
解析：设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，由，解得，所以侧面积为.
简答题
15.【详解】（1）， （2分）
所以 （6分）
.（2）由可得, （8分）
将,代入可得 （10分）
所以,故,由于,所以 （13分）
16.【详解】（1）∵
∴|z|==. （3分）
（2）
， （5分）
其为纯虚数
∴且 （7分）
∴. （8分）
（3）因为， （9分）
所以代入方程，
得. （11分）
∴，
∴， （13分）
∴且，
，. （15分）
17.【详解】（1）由题意知，， （2分）
由正弦定理得， （6分）
因为，所以，
则，即， （6分）
又，所以. （7分）
因为△ABC的面积为， （9分）
解得， （10分）
所以， （12分）
由余弦定理得， （14分）
所以. （15分）
18.【解答】解：（1）由频率直方图得，则（3分）
（2）高二数学成绩的平均数为，（6分）
前3组的频率和为（7分）
所以分位数为．（10分）
分层抽样6人中，，的有人，记为1，2． （12分）
，的有人，记为3，4，5，6， （13分）
从6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种， （14分）
其中2人分数都在，的有34，35，36，45，46，56共6种， （15分）
所以从6人中任取2人，分数都在，的概率为． （17分）
19.（1）证明：四边形是菱形，， （1分）
又平面，平面，
， （3分）
又，平面，
平面； （5分）
（2）（ⅰ）平面，
是直线与平面所成的角， （6分）
于是， （7分）
，，又，
所以 （8分）
菱形的面积为，
故四棱锥的体积． （10分）
（ⅱ）平面，平面，所以，，（12分）
所以，， （13分）
因为，所以即为直线与所成角（或补角）， （14分）
又，所以在中由余弦定理，
即，解得， （16分）
所以为锐角，即为直线与所成角,所以直线与所成角的余弦值； （17分）