2024-2025学年吉林省吉林十二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省吉林十二中高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4−i)=( )
A. 10iB. 11+10iC. 11iD. 10+11i
2.已知向量a=(−1,12)，b=(1,m)，若a⊥b，则|b|=( )
A. 3B. 2C. 5D. 5
3.某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点O(0,0,0)处起飞，6秒后到达点A(0,0,90)处，15秒后到达点B处，若AB=(120,0,0)，则|OB|=( )
A. 30 7B. 120C. 150D. 210
4.某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间(单位：小时)进行调查，统计数据如下表所示：
则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为( )
A. 0.3B. 0.2C. 0.4D. 0.5
5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
B. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C. 若m//α，α⊥β，则m⊥β
D. 若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β；m//β，n//α，则α//β
6.已知空间向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)，若a,b,c共面，则实数z的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.已知z1，z2是复数，则“|z1+z2|=|z1−z2|”是“z1z2=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体.已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为60°，则得到的球的表面积的最大值为( )
A. 48πB. 100π3C. 24πD. 50π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为8.3，8.4，8.4，8.7，9.2，9.4，9.5，9.9，10.1，10.1，则( )
A. 该组数据的极差为1.8
B. 该组数据的众数为10.1
C. 该组数据的75%分位数为9.9
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若a=2 3,A=π3，则△ABC的外接圆的面积为4π
B. 若a=3,b=4,A=π3，则满足条件的三角形有两个
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB>csA+csB
D. 若B>C，则tanB>tanC
11.如图，在棱长为2的正方体中ABCD−A1B1C1D1，E为线段CC1的中点，F为线段A1B上的动点(含端点)，则下列结论正确的有( )
A. 过A，D1，E三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面的面积为92
B. 存在点F，使得平面EF/​/平面AD1C
C. 当F在线段A1B上运动时，三棱锥C−AFD1的体积不变
D. FA+FC的最小值为2 2+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若P(A)=0.4，P(C)=0.3，则P(BC)= ______．
13.已知平面α的法向量为n=(2,1,2)，点A(0,1,1)为平面α内一点，点P(1,0,2)为平面α外一点，则点P到平面α的距离为______．
14.费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点.若a= 7，b=1，c=3，则OA⋅OB+OB⋅OC+OC⋅OA的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知i是虚数单位，z−表示z的共轭复数，复数z满足(1+i)⋅z=z−+1．
(1)求|z|的值；
(2)在复平面内，若z1=z−−3m+(m2−3m+1)i对应的点在第三象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，AD=CD=1，E为AB的中点，点F在BC上，且BF=2FC，记AB=a,AD=b．
(1)用向量a，b表示向量EF；
(2)求AF⋅EF的值．
17.(本小题15分)
记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2,bcsB= 2sin2B．
(1)求A；
(2)求( 3−1)b+ 2c的最大值．
18.(本小题17分)
用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图，求出图中t的值；
(2)为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样0.025的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率；
(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66和40，求总样本的平均数和方差．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=12CD=1,PA= 2，PC= 5，点Q为棱PC上一点．
(1)证明：PA⊥CD；
(2)当点Q为棱PC的中点时，求直线PB与平面BDQ所成角的正弦值；
(3)当二面角P−BD−Q的余弦值为3 1111时，求PQPC．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：(2+3i)(4−i)=8−2i+12i+3=11+10i．
故选：B．
利用代数形式的复数乘法计算得解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为a⊥b，所以a⋅b=−1+12m=0，解得m=2，所以|b|= 12+22= 5．
故选：C．
根据垂直向量的数量积的坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案．
本题考查向量垂直的坐标运算，向量的模，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知，OB=OA+AB=(120,0,90)，
所以|OB|= 1202+02+902=150．
故选：C．
利用向量加法的坐标运算求得OB=(120,0,90)，可求|OB|．
本题主要考查空间向量模公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由统计表可知，共抽取了6+9+15+12+8=50名学生，
阅读时间少于4小时有6+9=15人，
∴从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为1550=0.3．
故选：A．
根据古典概型的概率公式求解．
本题考查古典概型的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对A选项，若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​/n或m与n异面，所以A选项错误．
对B选项，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可以成[0,π2]的任意角，所以B选项错误；
对于C，如图所示m/​/α，α⊥β，但m//β，所以C选项错误；
对于D选项，由n/​/α，则过直线n作平面δ，使得δ∩α=l，于是n/​/l，
而l⊄β，n⊂β，所以l/​/β，由m，n是异面直线，则l，m必相交，
m//β，l⊂α，m⊂α，所以α/​/β，所以D选项正确．
故选：D．
利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，因为a,b,c共面，所以存在实数对(x,y)，使得c=xa+yb，
即(5,2,z)=x(1,0,3)+y(2,1,0)=(x+2y,y,3x)，
所以x+2y=5,y=2,3x=z,解得x=1,y=2,z=3.
故选：D．
根据题意，由空间向量基本定理可得存在实数对(x,y)，使得c=xa+yb，由此可得关于x、y、z的方程组，进而求出x、y、z的值，即可得答案．
本题考查空间向量基本定理，涉及向量的共面，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：取z1=1，z2=i，此时满足|z1+z2|=|z1−z2|，但z1z2=i≠0，
反之，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，
若z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)i=0，得ac−bd=0，ad+bc=0，
则(ac−bd)2+(ad+bc)2=(a2+b2)(c2+d2)=0，
所以a=b=0或c=d=0，
又|z1+z2|=|(a+c)+(b+d)i|= (a+c)2+(b+d)2，
|z1−z2|=|(a−c)+(b−d)i|= (a−c)2+(b−d)2，
而(a+c)2+(b+d)2−[(a−c)2+(b−d)2]=4ac+4bd=0，则|z1+z2|=|z1−z2|，
即“|z1+z2|=|z1−z2|”是“z1z2=0”的必要不充分条件．
故选：B．
举例说明充分性不成立，再由复数的运算及复数模的求法判断必要性．
本题考查复数的运算及复数模的求法，考查充分必要条件的判定，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设圆台的上、下底面的半径分别为r1，r2(r2>r1)，
因为圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为60°，
所以r1+r2=6，且圆台的轴截面是一个等腰梯形，等腰梯形的底角为60°．
所以母线长为2(r2−r1)=8，即r2−r1=4，结合r1+r2=6，解得r1=1，r2=5，
所以圆台的高为ℎ=8sin60°=4 3，
将梯形补成边长为10的等边三角形，
所以该等边三角形的内切圆的半径为r=13 102−52=5 33，
又ℎ2>r，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为5 33，
所以球的表面积最大值为4π(5 33)2=100π3．
故选：B．
首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：已知数据为8.3，8.4，8.4，8.7，9.2，9.4，9.5，9.9，10.1，10.1，
对于A，极差等于10.1−8.3=1.8，故A正确；
对于B，该组数据的众数为10.1和8.4，故B错误；
对于C，10×75%=7.5，故75%分位数为9.9，故C正确；
对于D，平均数等于8.3+8.4+8.4+8.7+9.2+9.4+9.5+9.9+10.1+10.110=9.2，
去掉9.2后，这两组数据的平均数相等，故D正确．
故选：ACD．
根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可．
本题考查极差、百分位数、平均数的概念，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：A中，因为a=2 3,A=π3，设R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理可得：asinA=2 3 32=4=2R，
解得R=2，故△ABC的外接圆的面积为πR2=4π，故A正确；
B中，因为a=3,b=4,A=π3，可得bsinA=4× 32=2 3>3，即aπ2，所以A>π2−B，
所以sinA>sin(π2−B)=csB，同理sinB>csA，
所以sinA+sinB>csA+csB，故C正确；
D中，若B为钝角，显然满足B>C，但tanB0，不满足tanB>tanC，故D错误．
故选：AC．
应用正弦定理有asinA=4=2R，进而求外接圆的面积判断A；应用正弦定理判断三角形个数判断B；由锐角三角形及诱导公式有sinA>csB、sinB>csA判断C；假设B为钝角即可判断D．
本题考查正弦定理及三角形的内角和定理的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，∵正方体的对面互相平行，
∴过A，D1，E三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1的对面ADD1A1，BCC1B1所得截线互相平行，
又∵E为线段CC1的中点，∴截面交BC于其中点G，
连接AG，GE，ED1，D1A，则四边形AD1EG即为所求截面，显然为等腰梯形，
且AD1=2 2,EG= 2,AG=D1E= 22+12= 5，
梯形的高ℎ= AG2−(AD1−EG2)2= 5−( 22)2=3 22，
面积为S=(AD1+EG)ℎ2=92，故选项A正确；
对于选项B：过E与平面AD1C平行的直线都在过E与平面AD1C平行的平面内，
易知过E与平面AD1C平行的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面为如图所示1的六边形EGHIJK，其各顶点都是正方体的相应棱的中点，
由于A1B//IH，A1H⊄平面EGHIJK，∴平面EGHIJK//直线A1B，
∴平面EGHIJK与线段A1B没有公共点，故选项B错误；
对于选项C：∵A1B//D1C，D1C⊂平面AD1C，A1B⊄平面AD1C，
∴A1B/​/平面AD1C，
又∵F∈A1B，∴F到平面AD1C的距离为定值，又∵△AD1C的面积为定值，
∴当F在线段A1B上运动时，三棱锥C−AFD1的体积不变，故选项C正确；
对于选项D：将矩形A1D1CB展开到与等腰直角三角形A1AB在同一平面内，如图2所示，
FA+FC≥AC= 22+22−2×2×2×(− 22)=2 2+ 2，
当A，F，C共线时取等号，故选项D正确．
故选：ACD．
根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得FA+FC的最小值，进而判定D．
本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
12.【答案】0.18
【解析】解：∵随机事件A与B对立，B与C相互独立，P(A)=0.4，P(C)=0.3，
∴P(B)=1−P(A)=1−0.4=0.6，
∵B与C相互独立，
∴P(BC)=P(B)P(C)=0.6×0.3=0.18．
故答案为：0.18．
根据对立事件的概率公式求出P(B)，根据独立事件的概率公式求出P(BC)．
本题考查随机事件、相互独立概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】1
【解析】解：由题意得AP=(1,−1,1)，
又平面α的法向量为n=(2,1,2)，
∴点P到平面α的距离d=|n⋅AP||n|=33=1．
故答案为：1．
利用空间向量计算点面距离即可．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，是基础题．
14.【答案】−32
【解析】解：由a= 7，b=1，c=3，显然最大角为C，
且csC=7+1−92 7=− 714>−12=cs120°，
又0°