江西省上进联考2024_2025学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

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试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．考查范围：选择性必修第二册占70%，一轮复习第一章集合、第二章函数占30%．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知数列满足，则的第项是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入求解即可.
【详解】因，所以．
故选：C．
2.若集合，，（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为集合，
又，所以．
故选：C．
3.已知函数，若，则（ ）
A.－1B.－2C.1D.2
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导，然后把代入到导函数中求解即可.
【详解】因为，所以，，
所以．
故选：A．
4.若，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出.
【详解】因函数在上是减函数，故．
故选：D．
5.已知函数的最小值为，则的值域为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用基本不等式求得，进而得，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以．易知的定义域为，
当时，，则；当时，，则，
所以的值域为．
故选：A．
6.若对任意，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】转化为，设，利用导数求出的最值可得答案．
【详解】由对任意，得，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，单调递减，
所以，所以．
故选：D．
7.已知公比不为1的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.9B.36C.72D.84
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式求解，即可得解.
【详解】设的公比为，
因为，
解得或（舍去），
所以．
故选：B
8.已知数列满足，集合．若将的所有子集分别记作中所有元素之和记为，则（ ）
A.1632B.2448C.4896D.9784
【答案】C
【解析】
【分析】求出．在所有中有32个，利用可得答案．
【详解】由，
可得
．
因为在所有中有32个，
所以．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.“”的否定是“”
D.“”是真命题
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据子集与真子集概念易判断A，B项；运用带量词命题的否定要求易得C项；通过举例说明存在量词命题为真即可判断D项.
【详解】对于A，因集合是的真子集，故，故A正确；
对于B，设，满足，但，故B错误；
对于C，由全称量词命题的否定是存在量词命题，需要改变量词并否定结论，故C正确；
对于D，当时，，故D正确．
故选：ACD．
10.下列函数中恰有2个零点的函数是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由解析式直接判断可得A错误；求导后分析单调性结合零点存在定理依次判断BCD即可；
【详解】对于A，令，得只有1个零点，故A错误；
对于B，由，故当时，单调递减，
当时，单调递增．
又，，，
所以在区间上各有1个零点，共2个零点，故B正确；
对于C，易知是的1个零点．
当时，令，得．
设，则，
所以当时，，当时，，
所以只有1个零点，故C错误；
对于D，当时，．当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，所以有2个零点，故D正确．
故选：BD．
11.已知等比数列的公比为，若，且，则（ ）
A.当时，B.当时，的取值范围是
C.的取值范围是D.的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等比数列中各项之间的关系，和等比中项的定义，结合基本不等式，分别判断构造函数的单调性，判断各选项的正误，求出正确结果.
【详解】对于A，当时，由，得，即，
因，则，解得，故A错误；
对于B，因，而函数在上单调递增，
由可得，所以，故B正确；
对于C，由，当且仅当时等号成立，
故得的取值范围是，故C错误；
对于D，因为，所以．
设，则，
因为，可得，所以，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.“点在幂函数图象上”的充要条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义确定，即得，由点在幂函数图象上即可推得等价条件.
【详解】是幂函数等价于，即．则得.
则点在幂函数图象上,当且仅当点满足方程，即．
故答案为：.
13.记等差数列的前项和为，若，则最大时的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】设，则为等差数列，根据当时，，当时，即可得解.
【详解】设，则为等差数列，
且，公差，即，
故就是的前项和．
因为当时，，当时，，
所以时最大．
故答案为：5
14.若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，设，可判断在区间上单调递增，又由化为，设，利用导数求得函数的单调性，进而求得的取值范围．
【详解】由，可得，
设，则，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，所以在区间上单调递增，
又由可化为，所以，
设，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
又因时，，所以，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知数列的前项和为．
（1）若是等差数列，且，求的通项公式；
（2）若是等比数列，且成等差数列，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出即可得解；
（2）根据已知条件求出，再结合等比数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
设的公差为，
由，得
解得，
所以．
【小问2详解】
设的公比为，则，
因为成等差数列，
所以，即，所以，
所以，
所以．
16.已知函数．
（1）证明：是奇函数；
（2）若在区间上单调递减，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先判断的定义域关于原点对称，然后再证明；
（2）由、的单调性判断复合函数的单调性，为函数单调减区间的子集，列不等式求解即可.
【小问1详解】
证明：由题得，
故，则的定义域为，关于原点对称，
又因为，
所以是奇函数．
【小问2详解】
因为，
当时，单调递减，且在定义域上为增函数，
故在区间上单调递减，
同理可得在区间上单调递减．
因为在区间上单调递减，
所以或，解得或，
所以的取值范围是．
17.已知函数．
（1）求极值；
（2）若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为0
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；
（2）首先设切点，再求切线方程，根据切线方程过点，转化为关于的方程有3个实数根，通过构造函数，利用导数分析函数的性质，从而根据函数有3个零点，求参数的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以．
令，得或，
则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且，
所以的极大值为，极小值为0．
【小问2详解】
设过点直线与的图象切于点，切线斜率，
则该切线的方程为，
把代入方程并整理得，
由过点可作3条直线与的图象相切，
则关于的方程有3个不同实根，
设，
则，
令，得或，
所以，
所以或且，
所以的取值范围是．
18.已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若集合，且中仅有2个元素，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将变形为，然后根据等比数列的定义及通项公式得，求解即可；
（2）利用错位相减法求和即可；
（3）先利用作差法判断得，再结合可得的不等式，即可得解．
【小问1详解】
由，得，
又，所以数列是首项为1、公差为2的等差数列，
所以，故．
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
则，
两式相减得
．
所以．
【小问3详解】
由（1）知，
所以，
因为当或2时，，当时，，
所以，
又，若中仅有2个元素，则这2个元素为，
所以，即的取值范围是．
19.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，记．
（1）若，写出一个符合条件的函数，使得的值域中只有1个元素，并求出该元素；
（2）若，证明：；
（3）已知，判断是否存在，使得，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），3，（答案不唯一）
（2）证明见解析 （3）存在；1
【解析】
【分析】（1）由题意是的常数倍，可考虑幂函数形式，取判断即可；
（2）先求得，则，设，利用导函数研究其单调性，结合零点存在定理得的单调性，即可证明；
（3）先判定不可能小于1，然后再证明时符合题意，要使，则，设，利用导数法得在区间上单调递增，所以，即可求解.
【小问1详解】
取，则，
则，
故的值域中只有1个元素3．（答案不唯一）
【小问2详解】
因为，
所以，
设，则，
所以在区间上单调递减，
因为，
所以存在，使得，即，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以．
【小问3详解】
，因为，，所以不可能小于1，
下面证明的最小值为1：
因为，所以，
当时，，
所以，即，
即，
设，
则，
则在区间上单调递增，
所以，
所以存在，使得，且的最小值为1．