【数学】云南省文山壮族苗族自治州2024-2025学年高二上学期期末测试试卷（解析版）

这是一份【数学】云南省文山壮族苗族自治州2024-2025学年高二上学期期末测试试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，可得，即，
因，则.
故选：C.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. -1B. 1C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，.
故选：D.
3. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由化为标准方程得，开口向上，
则，即，
所以的焦点坐标是.
故选：C.
4. 空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】A
【解析】由可得，
即，解得.
故选：A.
5. 若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可知，即可得，且，即；
因此可得，可得；
再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
6. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由在上满足可得在上单调递减；所以需满足，解得；即实数的取值范围为.
故选：B.
7. 已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，由长方体的体积为16可得：
，即，
长方体外接球的半径为，
所以，
当且仅当“”时取等，所以，
当，长方体外接球表面积的最小值为.
故选：C.
8. 已知点O0,0，点满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，
又直线经过定点，
由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大，
即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为.
（理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点，
在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（ ）

A. 这五个社团的总人数为100
B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C. 这五个社团总人数占该校学生人数的5%
D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
【答案】BD
【解析】对于A，参加朗诵社团的同学有8名，占比为，所以这五个社团的总人数为人，即A错误；
对于B，太极拳社团的同学有12名，可知其占比为，
因此脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，即B正确；
对于C，该校共有2000名，所以这五个社团总人数占该校学生人数的，即C错误；
对于D，由选项B易知脱口秀社团共有人，舞蹈社团共有人，两社团共有人，
所以从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，即D正确.
故选：BD.
10. 已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，圆与圆有2条公切线
B. 当时，是圆与圆的一条公切线
C. 当时，圆与圆相离
D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】由题可知圆心，半径，圆心，半径；
故两圆圆心距为，
对于A，当时，，此时两圆相离，故圆与圆有4条公切线，即A错误；
对于B，当时，是圆的切线，
又圆心到的距离为，即圆与相切，
所以是圆与圆的一条公切线，即B正确；
对于C，当时，，此时圆与圆相离，即C正确；
对于D，当时，，此时圆与圆相交，
将两圆方程相减可得，即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D错误.
故选：BC.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条
B. 以为直径的圆与相切
C. 设，则
D. 若，则的面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有；
当直线斜率存在时，可设直线方程为，
当直线与抛物线有且仅有一个公共点，
联立整理可得，所以；
解得，所以切线方程为，
综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确；
对于B，如下图所示：
设点在上的射影为，取的中点为，的中点为，
由抛物线定义可知，
在梯形中，有，
所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误；
对于C，易知F1,0，由抛物线定义可知，所以，
当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确；
对于D，设的方程为，
联立整理可得，可得，
因此；
可得，
因此，
又可得，解得；
易知到直线的距离为，
所以的面积为，
即D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】易知，
可设平面的一个法向量为，
可得，令，可得；
所以；
因为直线与平面垂直，所以直线的一个方向向量与共线，
所以直线的一个方向向量的坐标可以是.
13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________.
【答案】
【解析】函数的图象向右平移个单位以后可得；
即为奇函数，因此可得，
即；
又，可知当时，符合题意.
14. 年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为__________；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心__________cm.
【答案】
【解析】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，
即可得，因此离心率为；
设双曲线的方程为，将代入计算可得，
解得；
所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在锐角中，，，分别是角所对的边，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
解：（1）由可得，
又，所以，即；
可得，
可得，
由锐角可知，可知，
因此，整理可得，
所以，即；
（2）由（1）中，利用正弦定理可得；
因为，所以，
可知.
16. 已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．
（1）求直线的方程；
（2）求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
解：（1）由，解得，即，
显然轴，，点在轴上方，则，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1，
因此线段的中垂线方程为，即，
由，解得，
于是所求圆的圆心为，半径，
所以所求圆的标准方程为.

17. 已知函数.
（1）当时，求在上的最值；
（2）设函数，若存在最小值-8，求实数的值.
解：（1）当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递减，上单调递增，
所以，，
所以在上的最小值为，最大值为8.
（2）
，
设，当且仅当，即时取得等号，
所以，，对称轴
当，即时，，在上单调递增，
则当时，，
解得，不满足题意；
当，即时，在上单调递减，上单调递增，
所以时，，
解得或（舍去），
综上，实数的值为.
18. 如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离.
（1）证明：由底面，可得以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
可得,
；
则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
即，
因为，可得，
且平面，
所以平面
（2）解：设平面的一个法向量为，
则则，解得，令，可得，
即，
所以
因此平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：易知，
平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，其中一个焦点的坐标为.
（1）求的方程；
（2）过左焦点的直线交于、两点，点在上.
（i）若的重心为坐标原点，求直线的方程；
（ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围.
解：（1）由题意知，即，又，
解得，，，所以的方程；
（2）（i）因为左焦点为，设直线的方程为，
联立，得，
设，，，则，，
因为的重心为原点，所以，
所以，又，
代入，可得，
解得，所以直线的方程是.
（ii）设，由（i）可知，，
代入，可得，
解得，
所以.
所以，且，
所以.