【数学】天津市部分区2024-2025学年高二上学期期末练习试题（解析版）

这是一份【数学】天津市部分区2024-2025学年高二上学期期末练习试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由直线方程，可得，
所以，设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】因为，则，
所以.
故选：C
3. 拋物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由拋物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，即，
故抛物线的准线方程为.
故答案：D.
4. 某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（ ）
A. 45分钟B. 50分钟C. 55分钟D. 60分钟
【答案】C
【解析】设该同学每天的运动时长构成等差数列，公差为，
由题意得，，
∴，即该同学第十天的运动时长为55分钟.
故选：C.
5. 已知直线与平行，则实数的值为（ ）
A. 或0B. C. 或2D. 2
【答案】D
【解析】由题意，可得，或，
当时，，，此时重合，不符合题意；
当时，，，，符合题意.
故选：D.
6. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线为，即，
又圆的圆心为，半径为，
故，即，
解得，故.
故选：C.
7. 已知是各项均为正数等比数列，是它的前项和，，且与的等差中项为4，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，
解得：，或（舍去），则，
故选：B．
8. 在长方体中，已知为的中点，为的中点，则直线BD与EF所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
已知，则，，，，，，.
因为为的中点，所以；为的中点，所以.
由，，可得.
由，，可得.
先计算.
再计算，.
所以.
而异面直线所成角的余弦值为其绝对值，所以直线BD与所成角的余弦值为.
故选：B.
9. 已知椭圆左、右顶点分别为A，B，点在椭圆上（异于，设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，故，
即，
故，即.
故，故.
故选：A
第II卷（共84分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 已知与共线，则___________．
【答案】18
【解析】因为与共线，所以存在唯一实数，使得成立，即，
所以，解得，所以.
11. 已知为等差数列，为它的前项和，若，则___________．
【答案】4
【解析】因为为等差数列，为它的前项和，且，所以，
所以，由等差数列的性质可得.
12. 圆关于直线对称的圆的方程为___________．
【答案】
【解析】由圆化为标准方程为，
所以圆心为，半径为，
由圆与圆关于直线对称，则圆的圆心坐标为，半径为，
所以圆的标准方程为.
13. 已知为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________．
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
则，
所以，则，所以，
所以.
14. 已知数列满足．设，则数列的前10项和为___________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴，
∴数列的前10项和为：
.
15. 已知双曲线的右焦点为，离心率为，直线与双曲线交于A，B两点，且，则___________．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，由对称性可知为平行四边形，
又，可知为矩形，又在直线上，可得，
设，则可得，
由题意可得：，即，
可得，整理可得，
所以，即.
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知为等差数列，为等比数列，且，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为
由题意可知，，
可得，所以；
因为，所以，
所以．
（2）结合（1）可得：
17. 已知直线．圆心为的圆经过和的交点．
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆交于M，N两点，且，求的方程
解：（1）联立，解得，
因为圆心为的圆经过和的交点，
所以圆的半径为，
所以圆的方程为．
（2）①当斜率存在时，设直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，
则由垂径定理得，解得，
即，解得，
故直线的方程为，
即，
②当斜率不存在时，直线的方程为，满足，
所以直线的方程为或.
18. 如图，在直三棱柱中，，是棱BC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
（1）证明：根据题意，建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
因为侧棱的长为，
所以，
因为是棱BC的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，得，令，得，
所以，
因为，所以，
因为平面，所以平面.
（2）解：设平面与平面的夹角为，
由（1）得平面的一个法向量为，
由于平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）解：由（1）得平面的一个法向量为，，
所以，
所以点到平面的距离为.
所以点到平面的距离为．
19. 已知数列前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求证：；
（3）已知数列满足，求的通项公式．
解：（1）当时，，可得有，
当时，，，
有，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，；
（2）由（1）知
，
由于，所以，
所以.
（3）因为，
，
，
，
，
…
，
，
，
，
故，
，
两式相减得
，
即，也适合，故.
20. 已知椭圆的离心率为为椭圆的左顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆的左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线PB与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为坐标原点），且，求直线PB的斜率．
解：（1）由题可知：
因此，
所以椭圆的方程为；

（2）由题意，设．设直线PB的斜率为，
又，则直线PB的方程为，
直线PB与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线OP的斜率，
在中，令，得．
所以，
由得，
所以直线MN的斜率为．
由，得，
化简得，从而．
所以，直线PB的斜率为或．