人教课标B版高中数学选修2-2 第二章《推理与证明》复习课件

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1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形．(2)请用类比推理完成下表：【思路点拨】　(1)观察后一个图形与前一个图形中小正方形个数的关系．(2)根据前两组类比特点，找出类比规律．(2)本题由已知前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．　(1)如图2－1所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．1.综合法证明的逻辑关系综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性，用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．2．分析法证明的逻辑关系分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知．用分析法证“若P，则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，从而有……这只需证明命题P1为真，从而有……这只需证明命题P2为真，从而有…………这只需证明命题P为真．而已知P为真，故Q必为真．1.反证法的证题思想反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否的两个命题等价，反证法反映了“正难则反”的证题思想．2．反证法的证题步骤 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【思路点拨】　本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此想到了用反证法来证明．【规范解答】　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.∵ad－bc＝1，∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.∴(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.∴a＋b＝0，b＋c＝0，c＋d＝0，a－d＝0，∴a＝b＝c＝d＝0，∴ad－bc＝0，这与ad－bc＝1矛盾．从而假设不成立，原命题成立，即a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.　已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.【证明】　用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a0，可得c>－(a＋b)，又a＋b0，c>0成立.数学归纳法的两点关注：(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少．(2)关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋)，其中λ>0.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．【思路点拨】　(1)令n＝1，2，3可求a2，a3，a4.(2)根据a1，a2，a3，a4的值寻找规律，猜想an，再用数学归纳法证明．【规范解答】　(1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n.将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4，将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8，将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.(2)由a2，a3，a4，对{an}的通项公式作出猜想：an＝(n－1)λn＋2n.证明如下：①当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．②假设当n＝k时，ak＝(k－1)λk＋2k，则当n＝k＋1时，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k＝kλk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.由此可知，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N＋都成立．所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，都有an＝n.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化． 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a、b、c都为整数，已知f(0)、f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．【思路点拨】　假设方程f(x)＝0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾．【规范解答】　假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0，∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c都为奇数，∴a＋b必为偶数，ak2＋bk为奇数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾．综上可知方程f(x)＝0无整数根．