2025年湖南省长沙市中考数学真题（原卷＋解析）

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1.人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，用科学记数法将数据149600000表示为( )
A. 1.496×109B. 1.496×108C. 1.496×107D. 14.96×107
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为( )
A. 6mB. m+10C. 60mD. 10m
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意，根据数量关系列代数式．
每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和。
m(m>1)个机械手每分钟采摘苹果：10m，
故本题选D。
7.如图，AB//CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°，∠2=50°，则∠GEF的度数为( )
A. 50°B. 60°
C. 65°D. 70°
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据平行线的性质得出∠GFE=∠1=70°，再根据角的和差即可求解。
∵AB/​/CD，∠1=70°，
∴∠GFE=∠1=70°．
又∵∠EGF=∠2=50°，
∴∠GEF=180°−50°−70°=60°．
故本题选B．
8.如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB=40°，∠OCA=30°，则∠BCO的度数为( )
A. 40° B. 45°
C. 50° D. 55°
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB=12∠AOB=20°，再根据∠OCA=30°即可得出∠BCO的度数．
∵∠AOB=40°，
∴∠ACB=12∠AOB=20°，
∵∠OCA=30°，
∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=50°．
故本题选C．
9.如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB=4，BC=5，AC=6，则△CDE的周长为( )
A. 5 B. 6
C. 6.5 D. 7
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查了图形的折叠变换及其性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的折叠变换及其性质是．由先根据折叠的性质求出AE=AB=4，DE=BD，进而得出CE=2，再利用折叠的性质求出CD+DE=5，最后求出△CDE的周长。
∵AB=4，BC=5，AC=6，
∴由折叠的性质得：AE=AB=4，DE=BD，
∴CE=AC−AE=6−4=2，CD+DE=CD+BD=BC=5，
∴△CDE的周长为：CE+CD+DE=2+5=7．
故本题选D．
10.中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力.据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元．
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：
2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？( )
法国B. 瑞士C. 巴西D. 英国
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查了百分数的应用，正确列式计算是解题的关键．
计算出中国2025年GDP的增长量，并与选项中各国2024年的GDP总量进行比较，找出最接近的选项即可求解。
由题意可知，18.53×5%=0.9265(万亿美元)，
即2025年中国GDP的增长量与瑞士2024年GDP总量最接近，
故本题选B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：mx−2my=______．
【答案】m(x−2y)
【解析】
【详解】本题考查提公因式法因式分解，解题的关键是找到正确的公因式。找出公因式m，利用提取公因式法进行因式分解即可．
原式=m⋅x−m⋅2y
=m(x−2y)，
故答案为：m(x−2y)．
为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体3600名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习.由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有______名.
【答案】108
【解析】
【详解】本题主要考查样本估计总体，解决本题的关键是掌握样本估计总体的思想及计算方法。
首先计算样本中从未使用该平台辅助学习的学生的比例，再用该比例乘以全校总人数即可求解。
估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有：3600×3100=108(名)．
故答案为：108．
分式方程3x+1=22x−1的解为______．
【答案】x=1.25
【解析】
【详解】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法。
交叉相乘消去分母将原方程化为整式方程求解，最后验证解是否使原方程的分母为零即可。
原方程去分母得：6x−3=2x+2，
解得：x=1.25，
经检验，x=1.25是分式方程的解，
故答案为：x=1.25．
14.如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB=OA，AC=3，则OA的长为______．
【答案】6
【解析】
【详解】本题考查垂径定理，由垂径定理推出AB=2AC是本题解题的关键。由
根据垂径定理求出AB=2AC=6，再由OA=AB即可得到OA的长．
∵OC⊥AB于点C，
∴AB=2AC=2×3=6，
∴OA=AB=6，
故答案为：6．
如图，五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，则∠A+∠E= ______．
【答案】205°
【解析】
【详解】本题考查了多边形的内角与外角的知识点，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键。
先根据五边形的内角和定理求出五边形的内角和，再根据已知角的度数求出∠A+∠E的度数。
∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，
∵∠B=120°，∠C=110°，∠D=105°，
∴∠A+∠E=540°−120°−110°−105°=205°，
故答案为：205°．
衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b=−c.那么2=1．
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有a+b=−c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a=2a−a，b=2b−b，c=2c−c；②
第三步：把②代入①，可得(2a−a)+(2b−b)=−(2c−c)；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=(a+b+c)；④
第五步：把④两边同时除以(a+b+c)，得2=1.⑤
请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则．
【答案】⑤
【解析】
【详解】本题考查了等式的性质，等式的性质为：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．据此根据等式的性质，逐步分析即可．
∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．
∴对于等式2(a+b+c)=(a+b+c)，
当a+b+c=0时，该等式恒成立，
当a+b+c≠0，两边同时除以(a+b+c)，得2=1，
∵a+b=−c，
∴a+b+c=0，
∴上述推理过程中，第⑤步是错误的；
故答案为：⑤．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：|2 2−1|+(15)−1−( 3)2−(π−2028)0．
【答案】2 2．
【解析】
【详解】本题考查实数的运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则。
根据绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可．
原式=2 2−1+5−3−1
=2 2．
18.(本小题6分)
解不等式组：1+2x>x−64x≤3x+2．
【答案】−7−7，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为−738．
25.(本小题10分)
如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD=AD+BC．
(1)求证：CD与该半圆相切；
(2)当半径r= 2时，令AD=a，BC=b，m=22+a+22+b，n=a1+a+b1+b，比较m与n的大小，并说明理由；
(3)在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG=x，4AE⋅BE+1FG+CD=y，求y关于x的函数解析式.(不考虑自变量x的取值范围)
【答案】
证明见解析；
m=n，理由见解析；
y=3x．
【解析】
【详解】本题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点．
(1)如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E，根据AD与BC均为该半圆的切线，得出AD⊥AB，BC⊥AB，则AD//BC，可得∠M=∠OCB.证明△OAM≌△OBC，由全等三角形性质得出AM=BC，根据CD=AD+BC，得出CD=AD+AM=DM，则∠M=∠OCE，可得∠OCB=∠OCE，即CO平分∠BCD.又OE⊥CD，OB⊥CB，得出OE=OB，即可证明CD与该半圆相切；
(2)如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M，在△CDM中，由勾股定理可得CD2=DM2+CM2，根据CD=AD+BC=a+b，DM=|a−b|，CM=2r，列等式得出r2=AD⋅BC=ab=2，代入可得m=22+a+22+b=abab+a+abab+b=b1+b+a1+a=n；
(3)如图，根据CD，AD，BC均为该半圆的切线，则DA=DE，CB=CE，证明△DAG∽△BCG，得出CGGA=CBAD=CEED，从而得出CGCA=CECD，证明△ACD∽△GCE，得出∠ADC=∠GEC，得出EG//AD//BC，FG/​/AD/​/BC，得出FGBC=AFAB,FGAD=BFAB，则FGBC+FGAD=1，即可得1BC+1AD=1FG，同理可得1BC+1AD=1EG，得出FG=EG=x，由(2)可知r2=AD⋅BC=DE⋅EC=1，得出1DE+1CE=1BC+1AD=1EG=DC=1x，又在Rt△ABE中，12AE⋅BE=12(2x)(2r)=2x，得出AE⋅BE=4x，即可得4AE⋅BE=1x，从而得出y=1AE⋅BE+1FG+DC=1x+1x+1x=3x．
(1)证明：如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E，
∵AD与BC均为该半圆的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD//BC，
∴∠M=∠OCB，
∵O为AB的中点，
∴OA=OB，
在△OAM与△OBC中，
∠M=∠OCB∠OAM=∠OBC=90°OA=OB，
∴△OAM≌△OBC(AAS)，
∴AM=BC，
∵CD=AD+BC，
∴CD=AD+AM=DM，
∴∠M=∠OCE，
∴∠OCB=∠OCE，即CO平分∠BCD，
又∵OE⊥CD，OB⊥CB，
∴OE=OB，
∴CD与该半圆相切；
(2)解：m=n.理由如下：
如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M，
在△CDM中，由勾股定理可得CD2=DM2+CM2，
∵CD=AD+BC=a+b，DM=|a−b|，CM=2r，
∴(a+b)2=(a−b)2+4r2，
∴r2=AD⋅BC=ab=2，代入可得m=22+a+22+b=abab+a+abab+b=b1+b+a1+a=n；
(3)解：∵CD，AD，BC均为该半圆的切线，
∴DA=DE，CB=CE，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD//BC，
∴△DAG∽△BCG，
∴CGGA=CBAD=CEED，
∴CGCA=CECD，
∵∠ACD=∠GCE，
∴△ACD∽△GCE，
∴∠ADC=∠GEC．
∴EG//AD//BC，FG/​/AD/​/BC，
∴FGBC=AFAB,FGAD=BFAB，
∴FGBC+FGAD=1，
∴1BC+1AD=1FG，
同理可得1BC+1AD=1EG，
∴FG=EG=x，
由(2)可知r2=AD⋅BC=DE⋅EC=1，
∴1DE+1CE=1BC+1AD=1EG=DE+CEDE⋅CE=DC=1x，
又在Rt△ABE中，
∵12AE⋅BE=12(2x)(2r)=2x，
∴AE⋅BE=4x，
∴4AE⋅BF=1x，
∴y=1AE⋅BE+1FG+DC=1x+1x+1x=3x．
国家
GDP总量(单位：万亿美元)
国家
GDP总量(单位：万亿美元)
德国
4.59
巴西
2.33
印度
3.93
俄罗斯
2.05
英国
3.49
韩国
1.76
法国
3.13
瑞士
0.93
等第
频数
频率
A
20
m
B
30
0.30
C
n
0.44
D
6
0.06