山东省济南市外国语学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份山东省济南市外国语学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3B．5C．－3D．－5
2．在平面直角坐标系中，到轴的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．
3．一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个三角形的周长是（ ）
A．19B．23C．19或23D．20
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．相等的角是对顶角
C．有理数和数轴上的点一一对应
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
5．已知的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．在新年来临之际，梅梅打算去花店为妈妈挑选新年礼物．已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．梅梅购买这两种花18枝恰好用去100元，设她购买枝康乃馨，枝百合，可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 ．
12．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为
13．如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
14．如图，在中，三等分三等分．若，则 ．
15．正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是 .
三、解答题
16．解下列方程组：
(1)
(2)．
17．如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
18．如图，在中，，于点E，点D是边的中点，．
(1)求的长；
(2)求的长．
19．如图，已知点和点的坐标分别为和．
(1)在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)点的坐标为______，点关于轴的对称点的坐标为______；
(3)顺次连接，，，得到，点在轴上且满足，请直接写出点的坐标为______．
20．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表：
(1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的．
(2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？
(3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？
21．某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题；
(1)求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图；
(2)填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为 本，众数为 本；
(3)求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数．
22．图1是一个平分角的仪器，其中．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长．
23．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
24．如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点．
(1)求点，点的坐标．
(2)点是轴上的一个动点，求的最小值．
(3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标．
25．【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且．
求证：．
如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系；
如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．

【学以致用】
（3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长．
《山东省济南外国语学校2024-2025学年上学期12月份月考八年级数学试题 》参考答案
1．B
解：把代入ax-2y=1得，
a-4=1，
解得a=5，
故选：B．
2．A
解：平面直角坐标系中，
∴到y轴的距离是3，
故选：A．
3．C
根据题意，
①当腰长为5时，周长=5+5+9=19；
②当腰长为9时，周长=9+9+5=23．
故其周长为19或23，
故选C．
4．D
解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意；
C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意．
故选：D．
5．A
解：A、因为，
所以设，
则，故该选项是错误的，符合题意；
B、因为，，
所以，
即，故该选项是正确的，不符合题意；
C、因为，
所以，即，故该选项是正确的，不符合题意；
D、因为，
所以设，即，故该选项是正确的，不符合题意；
故选：A．
6．D
解：∵，丙和丁的平均数最大，
∴成绩好且发挥稳定的同学是丁．
故选：D．
7．A
解：A、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过一、三象限，故A正确；
B、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过二、四象限，故B错误；
C、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过一、三象限，故C错误；
D、由一次函数（，）图象可知：，．
∴函数图象应该经过二、四象限，故D错误．
故选：A．
8．A
解：依题意，得
故选：A
9．C
解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
故选：C．
10．C
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△BCD和△CAE中，
，
∴△BCD≌△CAE（ASA），
∴BD＝CE，故①正确；
②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图：

∵∠EFC＝∠AFD＝60°
∴∠AFC＝120°，
∵FG为△AFC的角平分线，
∴∠CFH＝∠AFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFE＝60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM＝CN，
∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE，
∴∠CEM＝∠CGN，
在△ECM和△GCN中
，
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，
∴∠MCN＝∠ECG＝60°，
由①知△CAE≌△BCD，
∴AE＝CD，
∵HG＝CD，
∴AE＝HG，
∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN，
在△AMC和△HNC中，
，
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，
∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴∠AHC＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，
∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH，
∵△CAE≌△BCD，
∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确，
∴正确的有：①②④，
故选：C．
11．
解：因为点的坐标为，且点在轴上，
，
解得，
故答案为：．
12．/50度
解：∵入射光线是平行光线，
∴，
由反射定律得：，
∴．
故答案为：．
13．
解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
14．/36度
解：∵三等分，
∴
又∵三等分，
∴
∴
∴
∵
∴，
∵三等分，
∴
又∵三等分，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
15．
直线交轴于点，则，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，轴
同理可得，，，即
，，
．
点的坐标为，
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：，
将①代入②得，
解得，
把代入①得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
得，
∴，
把代入①得，
∴，
∴原方程组的解为．
17．见详解
证明：∵点E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
18．(1)13
(2)
（1）解：，且D是边的中点，
，
是直角三角形，且，
在中，．
（2）解：
，即，
．
19．(1)见解析
(2)；
(3)或
（1）解：建立的平面直角坐标系如图所示；
（2）解：点C的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：；；
（3）解：设点的坐标为，
由题意得，
∴，
解得：或，
∴点D的坐标为或．
故答案为：或．
20．(1)（4）
(2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是
(3)即当水位为时，对应时间是
（1）解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，
当时，对应
∴第（4）次数据是不准确的；
（2）解：由（1）知时间每增加2分钟，h增加，
当时，则，
即当记录时间为20分钟时，漏刻水位是；
（3）解：设水位与时间的一次函数关系式为，
把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
解得．
即当水位为时，对应时间是．
21．(1)60人，补图见解析；
(2)3；3；
(3)本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本．
（1）解：随机被抽查的学生总数为：6÷10%＝60（人），
读4本的人数为：60﹣3﹣18﹣21﹣6＝12（人）；
补图如下：
（2）解：本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为4本，众数为3本；
故答案为：3；3；
（3）解：（3+18×2+21×3+12×4+6×5）＝3（本），
答：本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本．
22．(1)是的平分线，理由见解析
(2)
（1）解：是的平分线
理由如下：在和中，，
∴
∴，
∴平分．
（2）解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
23．(1)A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．
(2)利润w（元）与m（件）的函数关系式为：
（1）解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则

解得：，
答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．
（2）解：由题意可得：


即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为：
24．(1)，
(2)
(3)点和点的坐标分别为或或或
（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点，
令，可得，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点和点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点的坐标为；
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
∴，，
∴，此时最小，最小，
∵点的坐标为，，，
∴，，
∴的最小值为；
（3）解：∵点的坐标为，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
点分别是直线上的两点，且不与点重合，
设，，
当时，，，
∴，，
解得或，或，
∴点和点的坐标分别为或或或．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）4．
解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路：
∵，，
∴，
∵，
∴，
同理：，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②选择霖霖同学的解题思路：
如图②：同①可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图④：过D作，则，
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，即，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
（3）如图⑤：过A作交于G，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即，
∵，，
∴，即，
∴，即．甲
乙
丙
丁
平均数
方差
数据记录
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
…
0
2
4
6
8
…
2
2.8
3.6
4.0
5.2
…