初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第3章 二次根式3.1 二次根式的概念及性质多媒体教学课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第3章 二次根式3.1 二次根式的概念及性质多媒体教学课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了学习目标，二次根式的值非负，二次根式的双重非负性，x≥1，所以x＞1，x≥0且x≠2，4计算，的性质，例3计算，例4计算等内容，欢迎下载使用。
1.了解二次根式的定义；2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点）3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
问题1 什么叫作平方根?
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数是 a 的一个平方根.
问题2 什么叫作算术平方根?
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示.
问题3 什么数有算术平方根?
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内,非负实数才有算数平方根.
(1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的?
二次根式的概念及有意义的条件
(2) 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度 (称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v² = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径 R，则第一宇宙速度 v 是多少？(用带有根号的式子表示).
(3) 比较 (1)(2) 的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？
因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数(或式)非负
例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?
解：由 x - 1≥0，得
解：由题意得 x - 1＞0，
解：因为被开方数需大于或等于零， 所以 3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以 x - 1≠0，所以 x≠1. 所以 x≥-3 且 x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
(2)多个二次根式相加：如 有意义的条件：
(1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0；
(3)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件： A＞0；
(4)二次根式与分式的和：如 有意义的条件： A≥0且B≠0.
1.下列各式： . 其中一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______；
(2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是___________.
解：由题意得所以 a = 3. 所以 b = 4.当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
若 ，则根据被开方数大于等于 0，可得 a = 0.
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
（a≥0）的性质
例2 计算：
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：(ab)2 = a2b2
即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简：
解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0，所以原式= | a | - | b | + | a - b |= - a - b - (a - b)= -2a.
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
3.若 是整数，则自然数 n 的值有 （ ） A. 7个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个
4.当 x 为何值时， 在实数范围内有意义？
解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x＋3≥0 和分母 x＋1≠0，解得 x≥－3 且 x≠－1.
方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零.
解：根据题意得所以 x = 1.因为 y＜ ，所以 y＜ 所以 .