2025-2026学年上海市高三上学期数学秋季开学摸底考试卷

这是一份2025-2026学年上海市高三上学期数学秋季开学摸底考试卷，共9页。试卷主要包含了考试范围，已知抛物线Γ等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考除选修二第七、八章的全部内容
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已如集合A=1，2，3，4，5，B=2−kk∈A，则A∩B=______
2．不等式|x+1|−|x−3|≥0的解集是______
3．已知点A(−2，3)，B(1，−1)，则AB的单位向量为（用坐标表示）________
4．已知z=3+4i，若实数a，b满足z+az+b|z|=0，则a+b=________
5．如图△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，
半圆与AC、AB分別相切于点C，M交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为______.
6．已知 x>0，y>0，且2x+5y=20，则lgx+lgy 的最大值为_______.
7．将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且A，B在C的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）
8．袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x(x−2)，
则方程f(x)=lgx有_________个根.
在平面直角坐标系xOy中，已知P(32，0)，A,B是C:x2+(y−12)2=36上的两个不同的动点，
满足PA=PB，且PA⋅PB0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则函数gx=lg1ax+2的图象
不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．设等比数列an的前n项和为Sn，设甲：a1ℎ0，即可求解；
（3）解法1：由不等式ex+e−x≥x2+2，推得fx1⋅fx2≥2x12+2x22+4，进而利用累加法，即可得证；
解法2：由ex+e−x≥x2+2，得到fx1fx2≥x12+2x22+2≥2x12+2x22+4，结合累加法，即可得证.
【详解】（1）由函数gx=ax2+b，可得g′x=2ax，所以g1=a+b，g′1=2a.………2分
又由f0=2，所以2a=2a+b=2，解得a=1,b=1. ………2分
（2）若a=1,b=2，可得fx=ex+e−x,gx=x2+2，………2分
则g′x=2x，则不等式fx≥kg′e−x+2−2可化为ex+e−x≥2ke−x+2−2，
即k≤e2x+e−x+22e−x+4=e2x+2ex+14ex+2对任意x∈R恒成立，令t=ex，则t>0，设函数ℎt=t2+2t+14t+2，可得ℎ′t=t2+t(2t+1)2，
因为t>0，所以ℎ′t>0恒成立，所以函数y=ℎt在0,+∞上严格递增，………2分
所以ℎt>ℎ0=12，故k≤12，即实数k的取值范围为(−∞,12].………2分
（3）解法1：由fx1⋅fx2=ex1+e−x1ex2+e−x2=ex1+x2+ex1−x2+ex2−x1+e−x1+x2，
因为ex+e−x≥x2+2，可得ex1+x2+e−x1+x2≥x1+x22+2，当且仅当x1+x2=0时，等号成立；
………2分，所以ex1−x2+ex2−x1≥x1−x22+2，当且仅当x1−x2=0时，等号成立，
故fx1⋅fx2≥x1+x22+2+x1−x22+2=2x12+2x22+4，
当且仅当x1=x2=0时等号成立.………2分
因此有fsinθ1fcsθn>2sin2θ1+2cs2θn+4，fsinθ2fcsθn−1>2sin2θ2+2cs2θn−1+4，
⋯⋯ ，fsinθnfcsθ1>2sin2θn+2cs2θ1+4,………2分
以上n个式子相加得：
fsinθ1⋅fcsθn+fsinθ2⋅fcsθn−1+⋅⋅⋅+fsinθn−1⋅fcsθ2 +fsinθn⋅fcsθ1>6n.
………2分
解法2：由ex+e−x≥x2+2，可得fx1fx2≥x12+2x22+2=x12x22+2x12+2x22+4≥2x12+2x22+4，
………2分
当且仅当x1=x2=0时等号同时成立.故fsinθ1fcsθn>2sin2θ1+2cs2θn+4，………2分
fsinθ2fcsθn−1>2sin2θ2+2cs2θn−1+4，⋯⋯，fsinθnfcsθ1>2sin2θn+2cs2θ1+4，
……2分，以上n个式子相加得：
fsinθ1⋅fcsθn+fsinθ2⋅fcsθn−1+⋅⋅⋅+fsinθn−1⋅fcsθ2 +fsinθn⋅fcsθ1>6n.
………2分【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．13
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