2025-2026学年北京市高三上学期数学秋季开学摸底考试卷

这是一份2025-2026学年北京市高三上学期数学秋季开学摸底考试卷，共10页。试卷主要包含了考试范围，已知，则，函数在处有极小值5，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：选择性必修第二、三册+高考一轮复习（集合与逻辑、复数、函数与不等式）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则 （ ）
A．B．C．D．
2．复数的虚部为（ ）
A．B．1C．D．i
3．根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ）

A．曲线在点处切线的斜率B．曲线在点处切线的斜率
C．曲线在点处切线的斜率D．割线的斜率
4．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
5．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．4
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．函数在处有极小值5，则（ ）
A．B．C．或D．或3
9．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
10．从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的导数为 ．
12．已知，则 ； ．
13．已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
15．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ）
①．
②．函数的对称中心为
③．过引曲线的切线，有且仅有1条
④．若成等差数列，则
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（满分13分）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)3名女生不相邻．
(2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾．
(3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变．
17．（满分13分）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数在处的切线方程；
18．（满分14分）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．（满分15分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
20．（满分15分）当前，以深度求索（DeepSeek）等为代表的人工智能技术创新不断取得突破性的进展．已知语料库实时处理数据时，数据量（万条）与系统延迟（秒）的关系为．
(1)讨论系统延迟最小的临界数据量；
(2)当时，若要求延迟不超过20秒，求数据量的最大值（取整数）．
参考数据：3.0910．
21．（满分15分）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）
数学·答案及评分参考
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 12. 13. 0
14. 48 384 15.①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
（满分13分）
【详解】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能，故3名女生不相邻的站法有种；分
（2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况，
其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况，
所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种；分
（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种．分
17．（满分13分）
【详解】（1）依题意，在及处取得极值，
而的两根为，，
所以，，
，，
此时，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以及是极值点，符合题意.
所以分
（2）由（1）得，，
，，则切线方程为，
化简得，函数在处的切线方程为分
（满分14分）
【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，，
由，得，又等差数列的公差是-2，则，
所以和的通项公式分别为，分
（2）记和的前项和分别为，，则．
而，，
所以分
（满分15分）
【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率分
（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设为“从乙校抽取1人做对”，则，，
设为“恰有1人做对”，故
依题可知，可取，
，，，
故的分布列如下表：
故分
（3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，即，故，
同理有，，故，
故分
20．（满分15分）
【详解】（1）由题意得，，
令，解得，
①若，当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值；
②若，当时，，
所以在上单调递增，没有最小值.
综上，若，则系统延迟最小的临界数据量为；
若，则不存在系统延迟最小的临界数据量分
（2）当时，，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
又19.，20.，
故延迟不超过20秒时，数据量的最大值为21万条分
21．（满分15分）
【详解】（1）设，，
由可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为分
（2）因为，所以直线的方程为，即，
设，，
由（1）可知，在上单调递增，而，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
而当时，，所以总有，单调递增
故，从而命题得证；分
（3）解法一：由题意，直线，直线，
所以，，分
当时，，在上单调递增，
所以
所以
，分
由（1）可得当时，，
所以，分
所以分
解法二：由可设，又，所以，即，
因为直线的方程为，易知，
所以直线的方程为,
，.
所以
,由（1）知,当时，，所以,
所以分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
C
C
D
C
A
A
D
B