人教版高考数学第二轮专项练习专题16 圆锥曲线中的一类定值问题（解析版）

这是一份人教版高考数学第二轮专项练习专题16 圆锥曲线中的一类定值问题（解析版），共14页。试卷主要包含了结论，典型例题，针对训练 举一反三等内容，欢迎下载使用。
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
1、在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率
2、在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率
3、在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
二、典型例题
1．（2020·辽宁大连·二模（理））已知点在抛物线上，过点作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设点、、，则直线的斜率为，可得，
同理可得直线的斜率为，直线的斜率为，
，所以，，则，，
因此，点的坐标为.
故选：A.
另解：在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.利用此二级结论：，，再回代入得到.
【反思】特别提醒，本题抛物线方程巧合是二级结论中的型抛物线，若是型抛物线，则结论.
2．（2020·安徽·三模（理））设抛物线：的焦点为，点在上，且，若过上一个定点引它的两条弦，，直线，的斜率存在且倾斜角互为补角，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为点在上，且，
所以，，抛物线方程为.
设，，则有，，.
于是，
所以.因此直线的斜率.
故选：A.
另解：由题意知：定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率，代入答案选A.
【反思】注意使用前先判断二级结论是否适用，先判定，后使用.
3．（2022·广西玉林·高二期末（理））已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)；(2)直线的斜率为定值，且定值为.
(1)由题意，则，又，
所以椭圆C的方程为，代入有，解得，
所以，故椭圆的标准方程为；
(2)由题设易知：，
法一：设直线为，
由，消去y，整理得，
因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，
故M为，用代替k，得N为，
所以，故直线的斜率为定值．
法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，
由，消去y，整理得，
所以，而，
又，代入整理得，
所以，即，
若，则直线过点T，不合题意，
所以．即，故直线的斜率为定值.
【反思】在本题第（2）问中，在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率，由于本题是解答题，故不可直接使用此二级结论，但可用该二级结论试探答案，再解答，如果本题是选择题，或者填空题，本题可直接使用此二级结论：.
4．（2021·全国·高二专题练习）已知双曲线过点，且离心率．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，6.
【详解】
（1）由题意，，，，
双曲线的方程为；
（2）设，，，，
设的方程为，代入双曲线方程，可得，
，
，，
，，
同理，．
．
故得证.
【反思】在本题第（2）问中，在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率，由于本题是解答题，故不可直接使用此二级结论，但可用该二级结论试探答案，再解答，如果本题是选择题，或者填空题，本题可直接使用此二级结论：.
三、针对训练 举一反三
一、填空题
1．（2020·广东云浮·高二期末）已知抛物线：，点在轴上，直线：与抛物线交于，两点，若直线与直线的斜率互为相反数，则点的坐标是______.
【答案】
【详解】
考虑直线：，即，
所以直线恒过定点，设，
直线：与抛物线交于，两点，
即三点共线，，
，
，
化简得：
所以，
直线与直线的斜率互为相反数，
即恒成立
，则
所以
即点的坐标是
故答案为：
二、解答题
2．（2022·山西晋中·高二期末）已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)由题可知，解得，
从而粚圆方程为.
(2)证明设直线的斜率为，
则，，
联立直线与椭圆的方程，得，
整理得，
从而，于是，
由题意得直线的斜率为，
则，，
同理可求得，
于是
即直线的斜率为定值.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析，.
(1)根据题意，，
解得，
椭圆的方程为：；
(2)证明：设直线的方程为：，
由，得
显然是该方程的根，因此有，
，
由题可知直线的方程为，同理可得，
，
直线的斜率为定值，且这个定值为.
4．（2020·浙江·高三专题练习）已知动点到直线的距离比到点的距离大.
（1）求动点所在的曲线的方程；
（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值；
【详解】
（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，
等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，
由抛物线的定义可得曲线的轨迹时以为焦点，以直线为准线的方程，
且，所以曲线的方程为.
（2）设直线的斜率为，
因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以直线的斜率为，
则，
联立方程组，整理得，
即，可得
联立方程组，整理得，
即，可得
所以，即直线的斜率为定值.
5．（2019·浙江·高三阶段练习）如图，已知是抛物线上一点，直线，的斜率互为相反数，与抛物线分别交于，两点，且均在点的下方．
（1）证明：直线的斜率为定值；
【答案】（1）证明见解析，
【详解】
（1）证明：因为是抛物线上一点，
所以，得，所以抛物线方程为，
设直线的方程为，
由，得，
所以，所以，
因为直线，的斜率互为相反数，
所以直线的方程为，
同理可得，
所以，
所以直线的斜率为定值，
6．（2021·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数.
（1）求直线的斜率；
【答案】（1）； （2）是定值，
【详解】
（1）设，，
因为点为抛物线上的一点，
所以，解得，所以，
同时，有，，
，
同理，，
因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
所以，即，
故.
7．（2019·云南保山·一模（理））已知点，点P是圆C：上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．
求点M的轨迹方程；
过点作直线与点M的轨迹交于点E，过点作直线与点M的轨迹交于点F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）；（2）定值.
【详解】
（1）如下图所示，
连接，则，
又，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
因为，所以．
故点的轨迹方程是；
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，
由，消去整理得．
设交点、，
则，．
由，消去整理得，
则．
所以，．
故直线的斜率为定值，其斜率为．
8．（2019·四川泸州·二模（文））已知，椭圆过点，两个焦点为，，是椭圆上的两个动点，直线的斜率与的斜率互为相反数．
求椭圆的方程；
求证：直线的斜率为定值．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】
由题意，可设椭圆方程为，，解得，，
椭圆的方程为.
设，，设直线AE的方程为，代入得，，，
又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，再上式中以代k，可得
，，直线EF的斜率.
9．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（理））如图，抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，点，， 均在抛物线上.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)当直线与的斜率存在且互为相反数时，求的值及直线的斜率.
【答案】（1）；（2）, 斜率是
【详解】
（1）设出抛物线方程为，代入点P的坐标，解得p=8,所以抛物线方程为

（2）设点A坐标为，，
，而，代入
得到；
．
10．（2018·江苏镇江·高二期中）已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；
（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．
【答案】（1）（2）（3）见证明
【详解】
(1)由题意可得：，， ，
解得：，，.
椭圆的标准方程为：.
(2) ，
点关于坐标原点对称，且，
.可得直线的方程为：.
联立，解得，.
.
四边形的面积.
(3)证明：设 ， .
设直线的斜率为， ，则直线方程为：，
联立，化为：，
，解得，.
的斜率互为相反数， 直线的斜率为 ，直线方程为：.
联立，化为：，
，.
斜率为定值.