人教版高考数学第二轮专项复习专题03　函数的对称性-高中数学经典二级结论解读与应用训练（原卷版）

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结论三：函数的对称性
结
论
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点a+b2,c2对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
解
读
有对称的定义可以说明这两个结论的成立。例如：如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）图象关于x=a+b2对称，由于f（a+x）=f（b-x），两式中的变量到直线x=a+b2的距离相等并且函数值也相等，所以y=f（x）图象关于x=a+b2对称。
典
例
已知定义在R上的函数满足：
①；②；③在上表达式为.则函数与函数的图像在区间[－3，3]上的交点个数为_____.
解
析
反
思
本题考查函数的对称性，利用函数的图像求函数的交点个数，函数对称性常用的结论：函数若满足则函数图像关于点对称，若函数满足则函数图像关于对称.
针对训练*举一反三
1．已知是定义在上的奇函数，且，当x∈[−1,1)时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是定义域为的奇函数，，当时，，则时，的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数与函数的图象交点分别为：，…，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数满足对任意的都有成立，则
＝ ．
7．已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是___________.