贵州省安顺市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷

这是一份贵州省安顺市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 1200，1200，1500．现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 260 的样本，则从高三年级中抽取的学生人数为（ ）
A．60B．80C．100D．120
已知复数Z 
1
1 i
，则Z 的虚部为（）
1 iB．  1 i
1
 1
2222
1 tan15
1 tan15 的值为（ ）
A． 3
3
B．
C．1D． 
3
3
设 m，n，l 是三条不同的直线，α， β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
若n  l ， m  l ，则m ∥ n
C．若m ∥α，α β，则m  β
→
若m ∥α，α∥β，则m ∥β D．若m ∥ n ， m α，则n  α
→
已知向量a  1, 2 ， b  1, k  ，若a ⊥ b ，则a  2b 与2b 的夹角为（ ）
5°B．135°C．30°D．60°
若 P  A  P B  1 ， P  AB  2 ，则关于事件 A 与 B 的关系正确的是（ ）
39
事件 A 与 B 相互独立但不互斥B．事件 A 与 B 互斥但不相互独立
C．事件 A 与 B 相互独立且互斥D．事件 A 与 B 既不相互独立也不互斥 7．如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高 AB，他选取了与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D， BCD  15， CDB  105° ， CD  20m ，在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高为（ ）
A． 20  6 
2 m
B． 5 6 
2 m
C．10  6 
2 m
D． 20  6 
2 m
某人用下述方法证明了正弦定理：直线l 与锐角ABC 的边 AB ， AC 分别相交于点 D ， E ，设 BC  a ，
CA  b ， AB  c ， ADE  90 ，记与 DE 方向相同的单位向量为 i ，m AB  BC  AC ，
∴ i  ( AB  BC )  i  AC ，进而得 i  AB  i  BC  i  AC ，即： a cs90  B  b cs 90  A ，即：
a sin B  b sin A ，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线l 与锐角ABC 的边 AB ， AC 分别相交于点 D ， E ，设 BC  a ， CA  b ， AB  c ， ADE θ，则θ与ABC 的边和角之间的等量关系为（ ）
a cs  B +θ  b cs  A θ  c csθ
a cs  B θ  b cs  A θ  c sinθ
a cs  B θ  b cs  A θ  c sinθ
a cs B θ  b cs  A θ  c csθ
二、多选题
某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取 12 名男生和 8 名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为 100 分），得到如下数据：12 名男生的数学成绩的平均数与方差分别
是 x  75 ， s2  89 ，8 名女生的数学成绩分别为 66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这 8 名女生
113
的数学成绩的平均数与方差分别是 x  70 ， s2  23 ，这 20 名同学数学成绩的平均数是 73，则下列说法正
22
确的是（ ）
这 8 名女生的数学成绩的极差为 14
这 8 名女生的数学成绩的第 25 百分位数是 67
为了增加数学成绩的区分度，现在把这 12 名男生的成绩换算成 150 分制（每位学生的成绩乘以二分
之三），则这 12 名男生数学成绩换算后的方差是 89
2
这 20 名学生的数学成绩的方差是 33
下列对函数 f  x  a sin x  b cs x 的判断中，正确的是（ ）
a2  b2
f  x 的最大值为
3
当a  1 ， b  时， y  f  x 的图象可以通过 y  2 sin x 的图象向左平移π 个单位长度而得到
3
22π 7
3
当a  1 ， b  时，若 f  x0   ，则cs 2x0  3    9
3

当a  1 ， b  4 时，若当 x θ时， f  x 取到最大值，则csθ 4 17
17
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BB1 ， B1C1 的中点，G 是棱CC1 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
当 G 为棱CC1 中点时，直线 AG / / 平面 A1EF
三棱锥 B1  A1EF 外接球的表面积为24π
16  8 2
若 H 是棱 AA1 上的动点，则 D1H  CH 的最小值为
2
若 M 为棱 DD1 的中点，平面 MEF 截正方体所得截面图形的周长为6
三、填空题
已知纯虚数 z 满足 z  2i  1 ，则 z 可以是．
某圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 4，母线长为 5，则该圆台的体积为．
某实验室一天的温度 y（单位：℃）随时间 t（单位：h）的变化近似满足函数关系
y  10  a cs π t  b sin π t ， t 0, 24 ，a，b 为正实数，若该实验室这一天的最大温差为 10℃，则a  b 的
1212
最大值为．
四、解答题
一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为 1 和 2），一个黑球（标号为 3），一个白球（标号为 4）．从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球．设事件 A  “第一次摸到红球”， B  “第二次摸到黑球”， C  “摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”．
用数组 x1 , x2  表示可能的结果，x1 是第一次摸到的球的标号， x2 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间 ；
求事件 A，B，C 中至少有一个发生的概率．
→→
V ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量m  sin B, 2cs A ， n  sin B,1 满足m ∥ n ．
求角 A 的大小；
若a  2 ，求V ABC 的周长的最大值．
如图，在直三棱柱 ABC  A1B1C1 中， ABC  90， AB  BC  AA1  2 ，D 为棱 A1B1 上的动点．
证明： BC1  CD ．
当 D 为棱 A1B1 的中点时，求二面角 D  AC  B 的正切值．
“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分 100 分），按照市民的打分从高到低划定 A，B，C，D，E 共五个层次，A 表示非常满意，分数区间是86,100 ；B 表示比较满意，分数区间是71,85 ；C 表示满意，分数区间是56, 70 ；D 表示不满意，分数区间是41, 55；E 表示非常不满意，分数区间是0, 40.现从社区的市民中随机抽取 1000 名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示．
求图中 a 的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
若 80%的市民达到 C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整；
市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题：
1
①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为 2 ）
②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？
调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的 50 个白球和 50 个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区 1000 名市民参加了调查，且有 660 名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比．
如图所示，设 Ox，Oy 是平面内相交成θ 0 θ π,θ π  角的两条数轴，e ，e 分别是与 x 轴，y 轴正
2 12

方向同向的单位向量，则平面坐标系 xOy 为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下OM  xe1  ye2 ，则把有序
数对 x, y  叫做向量OM 的仿射坐标，记为OM   x, y  ．
θ π––––→ –→––→
若3 ， OM  e1  2e2 ，求OM 的模；
若θ π ， OA  x e  y e
， OB  x e  y e
，有同学认为“ OA  OB ”的充要条件是“ x x  y y
 0 ”，你
41 11 2
2 12 2
1 21 2
认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；
3
–––→–––→
在θ仿射坐标系下，设OA  3,1 ， OB  1,1 ， AOB α，若 OA  tOB 
对t  R 恒成立，求θ的
范围及sinα的最小值．
1．C
利用分层随机抽样的概念计算求解即得.
【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为 1200，1200，1500，所以高一、高二、高三年级的
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
D
A
A
C
D
ABD
AD
题号
11
答案
ACD
学生人数之比为4 : 4 : 5 ，
5
所以从高三年级抽取的学生人数为
4+4+5
 260  100 ．
故选：C.
2．C
根据复数的除法运算求出Z ,即可得到Z .
【详解】m Z  1 
1  i
 1  1 i ,
 Z  1  1 i ,
22
1
故虚部为 2 ，
故选：C
1  i

(1  i)(1  i)22
3．B
3
先把tan 45  1代入原式，逆用两角和的正切公式即可求得答案．
【详解】1 tan15 
1 tan15
tan 45  tan15 1 tan 45 tan15
 tan 45 15  tan 60 
故选：B.
4．D
ABC 可举出反例；D 选项，利用平行关系和线面垂直得到 D 正确.
【详解】A 选项，若n  l ， m  l ，则m ∥ n 或m, n 相交或m, n 异面，A 错误；
B 选项，若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m  β，B 错误；
C 选项，若m ∥α，α β，则m 与β相交或m / /β或m  β，C 错误；
D 选项，若m ∥ n ， m α，由平行和垂直关系可得n  α，D 正确故选：D
5．A
1→
根据两向量垂直得到方程，求出k  ，进而得到a  2b  1, 3 ， 2b  2,1 ，利用向量夹角余弦公式进行
2
求解.
→1
a
【详解】因为
⊥ b ，所以a  b  1, 21, k   1 2k  0 ，解得k ，
2
→→ 1 → 1 
a  2b  1, 2  2 1, 2   1, 3 ， 2b  2 1, 2   2,1 ，

→→→
2
a
2b
2b
→a  2b  2b
1, 3 2,1
2  3
设a  2b 与2b 的夹角为θ，则csθ
→  →→ 
1 9 
，
4 1
2
52
所以θ 45 .故选：A 6．A
利用相互独立事件的判断方法即 P  A P  B  P  AB ，而互斥事件是不可能同时发生，从而可得到判断.
【详解】因为 P  A  P B  1 ，所以 P  A  1，P  B  2 ，则 P  A P  B  1  2  2 ，
3333 39
又因为 P  AB  2 ，所以 P  A P  B  P  AB ，则事件 A 与 B 相互独立，
9
由于 P  AB  2 ，则事件 A 与 B 可以同时发生，即它们不是互斥事件，故 A 只有正确，
9
故选：A 7．C
在△BCD 中利用正弦定理求得 BC 的值，在V ABC 中根据 AB  BC tan ACB 即可求解
【详解】由题可知，在△BCD 中， BCD  15， CDB  105° ，故CBD  60 ，
由正弦定理，得
CD
sin CBD
BC

sin CDB ，
因为sin105  sin 45  60 
2  1  2  3 6  2 .
22224
20  6  2
所以 BC  20 sin105  4 
10  6  2 
3
，
sin 603
2
3
3
因为在V ABC 中， AB  BC tan ACB  10  6  2   10  6 
2 .
故选：C. 8．D
根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式即可求解.

→ –––→–––→→ –––→
【详解】∵ AB  BC  AC ，∴ i  AB  BC  i  AC ，进而得 i  AB  i  BC  i  AC ，
即c cs(π θ)  a cs(θ B)  b csπ  ( A θ) ，即
c csθ a cs( B θ)  b cs( A θ) ，即a cs(B θ)  b cs( A θ)  c csθ． 故选：D.
ABD
根据极差定义判断 A，根据百分位数定义即得判断 B，应用方差性质及分层抽样的方差公式计算判断 C， D.
【详解】12 名男生的数学成绩的平均数与方差分别是 x  75 ， s2  89 ，8 名女生的数学成绩分别为 66，
113
66，68，68，68，68，76，80．这 8 名女生的数学成绩的平均数与方差分别是 x  70 ， s2  23 ，这 20 名
22
同学数学成绩的平均数是 73，
则这 8 名女生的数学成绩的极差为80  66  14 ，A 选项正确；
8 名女生的数学成绩分别为 66，66，68，68，68，68，76，80，因为8 0.25  2 ，则这 8 名女生的数学成绩
的第 25 百分位数是 66  68  67 ，B 选项正确； 2
12 名男生的数学成绩的平均数与方差分别是 x  75 ， s2  89 ，
113
现在把这 12 名男生的成绩换算成 150 分制，则这 12 名男生数学成绩换算后的方差是 9  89  89  3 ，C 选
434
项错误；
因为这 20 名学生的数学成绩平均数 x  12  75  8  70  73 ，这 20 名学生的数学成绩的方差是
2020
12  89  75  732   8  23  70  732   33 ，D 选项正确；
20  3
20 
故选：ABD.
AD
A 选项，利用辅助角公式得到 f  x  a2  b2 sin  x φ ，得到最大值；B 选项，由辅助角公式得
f  x  2 sin  x  π 
πBC
B 基础上得到sin  x
 π   1 ，利用余弦二倍
3  ，应该向右平移 3 ，
错误；
选项，在
 03 3

角公式得到 C 错误；D 选项，由辅助角公式得到 f  x 
φ π  2kπ θ，从而利用诱导公式得到csθ 4 17 .
17 sin  x φ ，其中sinφ 4 17 ，
17
2
【详解】A 选项， f  x  a sin x  b cs x 
17
a
a2  b2 sin  x φ ，其中tanφ b ，
故 f  x 的最大值为
，当且仅当 x φ π  2kπ,k  Z 时，等号成立，A 正确；
a2  b2
2
3
B 选项，当a  1 ， b  时， f  x  sin x  3 cs x  2 sin  x  π  ，
3 

y  f  x 的图象可以通过 y  2 sin xπB
的图象向右平移
个单位长度而得到，
3
错误；
C 选项，由 B 知， f  x  2 sin  x  π  ，若 f  x   2 ，则2 sin  x  π   2 ，
3 03 03 3

即sin  x  π   1 ，所以cs 2x  2π   cs 2  x  π   1 2 sin2  x  π   7 ，C
 03 3
03  0
3  0
3 9

错误；

D 选项，当a  1 ， b  4 时， f  x  sin x  4 cs x  17 sin  x φ ，
其中sinφ 4 17 ， csφ
17
17 ，
17
若当 x θ时， f  x 取得最大值，即sin θφ  1，θφ π  2kπ, k  Z ，
2
所以φ π  2kπ θ，由于sinφ 4 17 ，即sin  π  2kπ θ  4 17 ，
217
 217

所以csθ 4 17 ，D 正确.
17
故选：AD 11．ACD
A 选项，作出辅助线，得到 EF / / 平面 APG ， A1 F / / 平面 APG ，得到面面平行，进而得到线面平行；B 选项，三棱锥 B1  A1EF 外接球为以 A1B1 , B1E, B1F 三边为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径和表
面积；C 选项，将两平面展开到同一平面内，利用勾股定理求出最小值；D 选项，作出平面 MEF 截正方体所得截面图形，求出周长.
【详解】A 选项，取 BC 的中点 P ，又 G 为棱CC1 中点，E，F 分别是棱 BB1 ， B1C1 的中点，
故GP / / EF ， AP / / A1F ，
因为GP  平面 APG ， EF  平面 APG ，所以 EF / / 平面 APG ，同理可得 A1 F / / 平面 APG ，
因为 EF ∩ A1F  F ， EF , A1F  平面 EA1F ，所以平面 EA1F / / 平面 APG ，
因为直线 AG  平面 APG ，所以 AG / / 平面 EA1F ，A 正确；
B 选项，显然 A1B1 , B1E, B1F 两两垂直，
故三棱锥 B1  A1EF 外接球为以 A1B1 , B1E, B1F 三边为长宽高的长方体的外接球，
设外接球半径为，则r 
 1 
6 ，
1
2
A B2  B E2  B F 2
1 11
1
4 11
22
 6 2
故外接球表面积为4π 2   6π ，B 错误；

C 选项，将正方形 A1D1DA 和矩形 A1C1CA 沿着棱 A1 A 展开，如图，
D D2  DC 2
1
4  4  8 2  8
16  8 2
连接 D1C 与 A1 A 相交于点 H ， D1H  CH 的最小值即为 D1C 的长度，其中 D1D  2 ， DC  DA  AC  2  2 2 ，
由勾股定理得 D1C 


，C 正确；
2
D 选项，取 AD 的中点W ， AB 的中点Q ， D1C1 的中点 R ，
连接MR, RF , EQ, QW ,WM ，可证得 RF / /ME / /WQ ， M , R, F , E, Q,W 六点共面，
平面 MEF 截正方体所得截面图形即为正六边形MRFEQW ，边长为，
故周长为6 2 ，D 正确.故选：ACD
3i （答i 也可以）
利用先设纯虚数，代入求模，即可求得参数，从而得解.
【详解】设纯虚数， z  bib  0 ， z  2i  1  bi  2i  1  b  2i  1  b  2  1 ，由于b  0 ，所以b  3 或1， 即 z  3i 或i ，
故答案为： 3i （也可以答i ）
28π
先利用直角梯形来求台体的高，再利用台体体积公式即可求得圆台体积.
【详解】如图，圆台的轴截面 ABCD ， O, O1 分别为上、下底面圆的圆心，
由圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 4，母线长为 5，可得： OC  1, O1B  4, BC  5 ，
52  4 12
解直角梯形OO BC 可得： OO  4 ，
11

由圆台体积公式得：V  1 π 16π 
3
16π π  4  28π ，
故答案为： 28π .
2
5
a2  b2
整理可得 f t   10 
sin  π t φ ，分析可知最大温差为
a2  b2
，由题意得a2  b2  25 ，再利用
 122

基本不等式运算求解.
a2  b2
【详解】因为 f t   10  a cs π t  b sin π t  10 sin  π t φ ，
1212
 12
且 f t  的最小正周期为
T  2π  24 π
a2  b2
12

，即t 0, 24 正好为一个满周期，
a2  b2
可知 f t  的最大值为10 
，最小值为10 ，
a2  b2
所以最大温差为2，
a2  b2
由题意得2
 10 ，即a2  b2  25
又因为a, b 为正实数，
a  b2a2  b2  2ab2 a2  b2 
则 25 ，
222
5 2
2
所以a  b  5 2 ，当且仅当a  b 时，等号成立，所以a  b 的最大值为5 2 .
故答案为： 5 2 .
15．(1)答案见解析；
(2) 3
4
直接写出样本空间即可；
先计算出事件 A，B，C 发生的概率，进而得到事件 A，B，C 均没有发生的概率，利用对立事件求概率公式得到答案.
【详解】（1）   1, 2, 2,1, 1, 3, 3,1, 1, 4, 4,1, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 4, 3 ；
（2）事件A 为1, 2, 2,1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4，包含 6 个基本事件，
由（1）知，样本空间中共 12 个基本事件，故 P  A  6  1 ，
122
事件 B 为1, 3, 2, 3, 4, 3，包含 3 个基本事件，故 P  B 
3  1 ；
124
事件C 为1, 4, 4,1, 2, 4, 4, 2，包含 4 个基本事件，故 P C   4  1 ，
123
事件 A，B，C 均没有发生的概率为1 1 1 1 1 1   1 ，
2  4  3 4
  
故事件 A，B，C 中至少有一个发生的概率为1 1  3 .
44
16．(1) A  π
3
(2) 6
先利用共线向量的坐标性质化简得cs A  1 ，再结合角 A 的范围即可求得结果；
2
利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值.
m →→
【详解】（1） m  sin B, 2 cs A ， n  sin B,1 ， m ∥ n ．
sin B  2 cs A sin B ，
m B 0, π,sin B  0 ，
cs A  1 ，
2
m A 0, π,  A  π
3
（2）由（1）得 A  π ， a  2
3
由余弦定理得a2  b2  c2  2bc cs A  b2  c2  bc ，
2222
b  c 2(b  c)2
所以4  b  c  bc  (b  c)  3bc  (b  c)  3() ，
24
当且仅当b  c 时取等号，解得b  c  4 ，所以a  b  c  6
所以V ABC 的周长的最大值为6 . 17．(1)证明过程见解析
2
(2) 2
证明出 A1B1 ⊥平面 B1C1B ，得到 A1B1 ⊥ BC1 ，结合正方形得到 BC1 ⊥ B1C ，从而得到线面垂直，得到线线垂直；
取 AB 的中点 E ，连接 EC, ED ，由勾股定理和余弦定理，面积公式得到Sa ACD = 3 ， Sa AEC  1 ，设二面
角 D  AC  B 的大小为θ，则csθ Sa AEC  1 ，进而求出正切值.
Sa ACD3
【详解】（1）直三棱柱 ABC  A1B1C1 ， ABC  90，故A1B1C1  90，即 A1B1  B1C1 ，
又 BB1 ⊥平面 A1 B1C1 ， A1B1  平面 A1 B1C1 ，所以 BB1 ⊥ A1B1 ，
又 B1C1 ∩ BB1  B1 ， B1C1 , BB1  平面 B1C1B ，故 A1B1 ⊥平面 B1C1B ，
因为 BC1  平面 B1C1B ，所以 A1B1 ⊥ BC1 ，
又 BC  BB1  2 ，故四边形 BCC1B1 为正方形，故 BC1 ⊥ B1C ，
因为 A1B1 ∩ B1C  B1 ， A1B1 , B1C  平面 B1CD ，所以 BC1 ⊥平面 B1CD ，因为CD  平面 B1CD ，所以 BC1  CD ；
（2）取 AB 的中点 E ，连接 EC, ED ，则 DE ⊥平面 ABC ， DE  AA1  2 ，因为 AE, EC  平面 ABC ，所以 DE ⊥ AE ， DE ⊥ EC ，
5
AB2  BC 2
AB  BC  AA1  2 ，故 AE  BE  1 ，
EB2  BC2
1 4
DE2  EC 2
4  5
ABC  90，由勾股定理得EC 
， AC 
 2 2 ，
AE2  DE2
故 AD 

 5 ， CD 

 3 ，
2
AC 2  CD2  AD28  9  5
2  2 2  3
在aACD 中，由余弦定理得cs ACD ,
2 AC  CD2
故sin ACD 
2 ， S
 1 AC  CD sin ACD  1  2 2  3 2  3 ，
2a ACD
222
其中S
a AEC
 1 S
2
a ABC
 1  1  2  2  1 ，
2 2
设二面角 D  AC  B 的大小为θ，则csθ Sa AEC  1 ，
所以sinθ
 2 2
1  3 
 1 2
 
3
， tanθ 2
Sa ACD3
2
.
18．(1) a  0.030 ，71；
(2)不需要调整，理由见解析； (3)82%
根据频率之和为 1 得到方程，求出a  0.030 ，并根据平均数的定义进行求解；
计算出56,100 区间内的频率，和 0.8 比较后得到结论；
约有 500 人回答了第一个问题，这 500 人中约有 250 人回答了“是”，从而求出约有 410 人在第二个问题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为 500，从而得到答案.
【详解】（1）由题意得10 0.010  0.015  0.015  a  0.025  0.005  1，解得a  0.030 ，
45 0.01 55 0.015  65 0.015  75 0.03  85 0.025  95 0.00510  71 ，
估计该市市民打分的平均数为 71；
该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下：
56,100 区间内的频率为
70  56 0.015 10  0.030 10  0.025 10  0.005  0.81  0.8 ，
所以该市“创建文明城市”工作不需要调整；
两个问题被问的概率相等，故约有 500 人回答了第一个问题，
由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这 500 人中约有 250 人回答了“是”，所以约有660  250  410 人在第二个问题中回答了“是”，
第二个问题被问到的人数也约为 500，
故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为 410 =82%.
500
7
19．(1)；
不正确，理由见解析；
2π θ π ， sinα的最小值为 21 .
37
––––→
利用向量的线性运算两边平方可求 OM ；
–––→ –––→
根据条件，利用向量数量积的运算得到 x x 
2 x y 
2 x y  y y
，再利用
OA  OB  OA  OB  0 ，即可求解；
–––→–––→
OA OB1 2
21 2
22 11 2
3
由 OA  tOB 
，转化为2 1 csθt 2  81 csθt  6csθ 7  0 对t  R 恒成立，求得
2
3
1
2
5  3csθ
1  csθ  1 ，再由向量的夹角公式，得到csα
2
，并求得csα的范围，即可得到sinα
的最小值.
––––→ –→––→
θ π
【详解】（1）因为OM  e1  2e2 ，3 ，
––––→ 2
–→––→ 2
–→2
––→2
–→ ––→1
所以两边平方得OM 
 e1  2e2 
 e1
 4e2
 4e1  e2  5  4  2  7 ，
7
故| OM |；
不正确，理由如下，
因为θ π ，则–→  –→  11cs π 2 ，
4e1 e242
2
2
–→
又OA  x1e1  y1e2,OB  x2 e1  y2 e2 ，

–––→ –––→–→
则
 –→ 
–→

 x x 
x y 
x y  y y ，
OA OBx1 e1
y1 e2
x2 e1
y2 e21 2
21 2
22 11 2
若OA  OB ，则OA  OB  0 ，则 x x  2 x y  2 x y  y y
 0 ，
1 221 222 11 2
所以“ OA  OB ”的充要条件是“ x x  2 x y  2 x y  y y
 0 ”，
1 221 222 11 2
故“ OA  OB ”的充要条件是“ x1 x2  y1 y2  0 ”是不正确的.
因为OA  3,1,OB  1,1, AOB α，则OA  3e1  e2,OB  e1  e2 ，

–→–→
3e1  e2

2
9e1  e2  6e1  e2
–→2–→2
–→ –→
–––→
OA 
–––→
OB 


–→–→
e1  e2

2
e1  e2  2e1  e2
–→2–→2
–→ –→

 10  6csθ，
 2  2csθ，
–––→ –––→–→–→–→–→–→ –→
OA  OB  3e1  e2 e1  e2   3 1 4e1  e2  4  4csθ，
3
–––→–––→
由 OA  tOB 
–––→2
，得
OA
–––→ –––→–––→2
 2tOA  OB  t 2 OB
 3 ，
所以10  6csθ 2t 4  4csθ  2  2csθt 2  3 ，
即2 1 csθt 2  81 csθt  6csθ 7  0 对t  R 恒成立，
又因为1 csθ 0 ，所以Δ  81 csθ2  4  2 1 csθ 6csθ 7  0 ， 解得1  csθ  1 ，
2
因为0 θ π ，所以1  csθ  1 满足题意，
2
所以 2π θ π ，
3
–––→ –––→
OA  OB
所以csα
OA  OB 
4  4csθ
10  6csθ 2  2csθ
1 csθ 5  3csθ
 2
2
3
1
2
5  3csθ
，
又因为2  5  3csθ 7 ，所以0 
2
21 ，
1
2
5  3csθ
7
2 7
7
则0