2024-2025学年湖南省娄底市部分普通高中高二下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省娄底市部分普通高中高二下学期7月期末考试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R，集合A={0,1,2,3}，B={−2,−1,0,1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {−2,−1,0,1,2,3}B. {0,1}
C. {2,3}D. {−2,−1}
2.命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是( )
A. ∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根
B. 对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根
C. 对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根
D. 至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根
3.若sin(π−α)=13，且π20且x+y=1，则p=x+1x+y+1y的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 9
8.已知实数a,b,c满足lga=10b=1c,则下列关系式中不可能成立的是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z= 3−i，则下列说法错误的是( )．
A. z在复平面内对应的点位于第二象B. |z|=4
C. z2=4−2 3iD. z的共轭复数z= 3+i
10.已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. a+b⊥aB. a+2b=5
C. 向量a在向量b方向上的投影是 22D. 向量a的单位向量是2 55, 55
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中
A. AC与BD1的夹角为60∘
B. 二面角D1−AC−B1的正弦值为13
C. AB1与平面ACD1所成角的正切值为 2
D. 点B1到平面ACD1的距离为2 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式x−2x6的展开式中，x4项的系数是 .(用数字填写答案)
13.函数f(x)=ln(1−x) x的定义域为 ．
14.已知函数f(x)=2x+4,x≤ax2+1,x>a在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．

(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；
(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率；
16.(本小题15分)
在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量m⊥n，其中m= 3a,sinA，n=csB,−b．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，求aca+c的最大值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，AB⊥AD，BC=AB=2，E为PD的中点．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)当平面PAD⊥平面ABCD时，求直线BE与平面PCD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= 3x，且点 2, 3在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知双曲线C的右焦点为F，点A(0,1)，斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，且B为线段PQ的中点，若AF⊥BF，求直线l的方程．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−ax−blnx(a,b∈R)．
(1)若a=0，b=1，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
(2)若x=1是f(x)的极大值点，求a的取值范围
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查Venn图与集合的运算，属于基础题．
由阴影部分可知对应的集合为B∩(∁UA)，即可得到结论．
【解答】
解：阴影部分对应的集合为B∩(∁UA)，
∵全集U=R，集合A={0,1,2,3}，
B={−2,−1,0,1}，
∴B∩(∁UA)={−2,−1}．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】用全称量词对命题进行否定即可写出．
【详解】由存在量词命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根”．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简求值，属于基础题．
由题意利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得csα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．
【解答】
解：∵sin(π−α)=sinα=13，且π2b>c;
当t=t2时，a>c>b;
当t=t1时，c>a>b.
故选D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】A选项，直接判断出z位于第四象限；
B选项，根据复数模的公式直接求出|z|；
C选项，根据复数的乘方运算直接求出z2；
D选项，根据共轭复数的概念直接求出z．
【详解】A选项，z在复平面内对应的点为 3,−1，位于第四象限.故A错误；
B选项，|z|= 32+(−1)2=2.故B错误；
C选项，z2= 3−i2=2−2 3i.故C错误；
D选项，z= 3+i.故D正确．
故选：ABC
10.【答案】ABD
【解析】【分析】对于A：利用向量垂直的条件判断；对于B：利用模的计算公式；对于C：利用投影的计算公式；对于D：直接求单位向量即可．
【详解】∵a=(2,1)，b=(−3,1)
对于A：a+b=(−1,2)，∵a+b⋅a=(−1)×2+2×1=0，∴a+b⊥a，故A正确；
对于B：∵a+2b=(2,1)+2(−3,1)=(−4,3)，∴a→+2b→= (−4)2+32=5，故B正确；
对于C：向量a在向量b方向上的投影是a⋅bb=2×(−3)+1×1 (−3)2+12=− 102，故C错误；
对于D：a→= 22+12= 5，所以向量a的单位向量是a→a→=2 55, 55，故D正确．
故选：ABD．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查异面直线的夹角、二面角的求解、线面角的求解、点到面的距离，为中档题．
【解答】
解：AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1=D1，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1，故A错误;
过D1作AC垂线，垂足为H，连接B1H，易知H为AC中点，在等边三角形AB1C中，B1H⊥AC，
所以∠D1HB1为二面角D1−AC−B1的平面角，cs∠D1HB1=D1H2+B1H2−B1D122D1H×B1H=13.故B错误;
易知DB1⊥平面ACD1，设直线AB1与平面ACD1所成角为θ，直线AB1与直线DB1所成角为α，则tanθ=1tanα= 2.故C正确;
由C知，sinθ= 63，所以B1到ACD1的距离为 2× 63=2 33.故D正确．
12.【答案】−12
【解析】解：二项展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅x6−r⋅−2xr=C6r⋅−2r⋅x6−2r，
令6−2r=4，得r=1，C61⋅−21=−12，
所以x4项的系数是−12．
故答案为：−12．
13.【答案】(0,1)
【解析】【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0的条件来求解即可得定义域．
【详解】由1−x>0x>0，解得0a且a≥0时，f(x)=x2+1在(a,+∞)上单调递增a2+1；
所以要使函数f(x)=2x+4,x≤ax2+1,x>a在R上单调递增，
则a2+1≥2a+4，解得a≥3或a≤−1(舍去)．
故答案为：[3,+∞)．
15.【答案】【详解】(1)由题意得：10×(0.01+0.015+0.02+t+0.025)=1，解得t=0.03，
因为0.01×10+0.015×10+0.02×10=0.45，
0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×10=0.75，
设第60百分位数为x，则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×(x−80)=0.6，
解得x=85，即第60百分位数为85．
(2)由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有5×0.20.3+0.2=2人，设为A,B，
在[80,90)的有5×0.30.3+0.2=3人，设为a,b,c．
则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为：
Ω=(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)，nΩ=10，
设事件M=“两人得分分别来自[70,80)和[80,90)”，
则M=(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),n(M)=6，
因此P(M)=n(M)nΩ=610=35,
所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35．

【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出t的值，根据百分位数的定义列出方程，求解即得；
(2)利用分层抽样方法确定从两组中应抽取的数目，设出样本点，列出试验所含的样本空间和事件包含的样本点，根据古典概型概率公式计算即可．
16.【答案】【详解】(1)因为m⊥n，则m⋅n=0，又m= 3a,sinA，n=csB,−b，
所以m⋅n= 3acsB−bsinA=0，由正弦定理得 3sinAcsB−sinBsinA=0，
即 3sinAcsB=sinBsinA，又A是▵ABC内角，则sinA≠0，
所以 3csB=sinB，即tanB= 3，
又B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，即a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=9，
所以(a+c)2−9=3ac≤34(a+c)2(当且仅当a=c=3时取等号)，
所以a+c≤6，
又a+c>b=3，所以31时，在x∈(1,a)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以x=1是f(x)的极大值点，满足条件．
当a=1时，f′(x)=(x−1)2x2≥0，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，f(x)没有极值，不满足条件．
当0