2024-2025学年宁夏银川市景博中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏银川市景博中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z=21+i−i，则z⋅z−=( )
A. 5B. 3C. 5D. 2
2.已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则|a−b|=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A. 20B. 26C. 17D. 03
4.某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为( )
A. 270
B. 240
C. 180
D. 150
5.在△ABC中，BC=2，AC=1+ 3，AB= 6，则A=( )
A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°
6.如图1，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AB⊥AD，BC=12，AD=13，AB=2 3，E为线段BC上的一点，BE=9，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE，如图2，则六面体ABCDFE的体积为( )
A. 33 32
B. 27 3
C. 30 3
D. 33 3
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为( )
A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BC中点，则( )
A. AD⊥A1CB. BC⊥平面AA1D
C. CC1//平面AA1DD. AD//A1B1
10.设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
B. 若α⊥γ，α//β，则β⊥γ
C. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β
D. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=2 2，D为B1C1的中点，则( )
A. A1D⊥B1C
B. B1C⊥平面A1BD
C. AC1/​/平面A1BD
D. 直线AC1与B1C所成角为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.|−3+4i|=______．
13.设向量a，b夹角的余弦值为13，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)⋅b= ______．
14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足CD= 2AB，cs∠CAD=2 55，则∠ADC的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如表所示：
(Ⅰ)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(Ⅱ)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；
(Ⅲ)现用比例分配的分层随机抽样从[30,35)、[35,40)、[40,45)的样本中共抽取n名志愿者，已知从[40,45)中抽取了2人，求n的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，b2+c2−a2=4 23bc．
(1)求csA的值；
(2)若3csinA= 2asinB，且△ABC的面积S=2 2，求c的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=2．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)求二面角P−CD−A的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PAD的距离．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5,PD=1，在棱PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是5 618？若存在，求出PQ的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.BC
10.BCD
11.AC
12.5
13.11
14.3π4
15.(Ⅰ)①应填0.20×100=20，②应填35100=0.35；
(Ⅱ)因为[25,30)区间的频率为0.20，
所以该组的高为0.25=0.04，
所以补全频率分布直方图如下：
这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为0.35×500=175；
(Ⅲ)因为[30,35)、[35,40)、[40,45)的人数比例为0.07：0.06：0.02=7：6：2，
所以从[40,45)中抽取了2人，从[30,35)、[35,40)中分别抽取了7人和6人，
所以n=7+6+2=15．
16.(1)因为b2+c2−a2=4 23bc，
由余弦定理可得b2+c2−a2=2bccsA，
可得csA=2 23；
(2)因为3csinA= 2asinB，
由正弦定理得3ac= 2ab，
所以b=3 22c，
由(1)可得sinA= 1−cs2A= 1−89=13，
因为△ABC的面积为S=12bcsinA=2 2，
可得bc=12 2，
又因为b=3 22c，可得3 22c2=12 2，
可得c2=8，
所以c=2 2．
17.(1)因为AB=BC=1，AB⊥BC，所以AC= 2，∠BAC=45°，
又AB⊥BC，AD//BC，所以∠DAC=45°，
所以CD2=CA2+DA2−2CA⋅DA⋅cs∠DAC=2+4−2× 2×2× 22=2．
所以CD= 2．
因为AD2=AC2+CD2，
所以△ACD为直角三角形，且CD⊥CA．
又因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD．
又因为PA，CA⊂平面PAC，PA∩CA=A，
所以CD⊥平面PAC．
(2)因为CD⊥平面PAC，CA，CP⊂平面PAC，
所以CD⊥CP，CD⊥CA．
所以∠PCA即为二面角P−CD−A的平面角．
在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA=2，AC= 2，
所以PC= PA2+AC2= 6，
所以sin∠PCA=PAPC=2 6= 63．
即二面角P−CD−A的正弦值为 63．
18.(1)证明：因为PC⊥底面ABCD，
所以PC⊥AD，又CD⊥AD，且PC∩CD=C，
所以AD⊥平面PCD，又AD⊂平面PAD，
所以平面PCD⊥平面PAD；
(2)根据题意建系如图：
则B(0,2,0)，A(2,2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,3)，
所以BA=(2,0,0),AP=(−2,−2,3),AD=(0,−2,0)，
设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则AP⋅n=0AD⋅n=0，即−2x−2y+3z=0−2y=0，取n=(3,0,2)，
所以点B到平面PAD的距离为d=|BA⋅n||n|=6 13=6 1313．
19.(1)证明：如图，取PD的中点N，连接AN，MN，
又M为棱PC的中点，所以易得四边形ABMN是平行四边形，
所以BM//AN.又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
所以BM//平面PAD；
(2)因为PC= 5,PD=1,CD=2，
所以PC2=PD2+CD2，所以PD⊥DC．
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，PD⊂平面PDC，
所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，又AD⊥DC，
所以DA，DC，DP两两垂直，
所以建系如图：
则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，M(0,1,12)．
所以DM=(0,1,12),DB=(1,1,0)，
设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，取n=(1,−1,2)，
假设在棱PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是5 618，
设PQ=λPA,0≤λ≤1，则Q(λ,0,1−λ),BQ=(λ−1,−1,1−λ)．
又BQ⋅n=λ−1+1+2(1−λ)=2−λ，
所以点Q到平面BDM的距离是|BQ⋅n||n|=2−λ 6=5 618，解得λ=13，
在Rt△ADP中，PA= 2⇒PQ= 23．分组(单位：岁)
频数
频率
[20,25)
5
0.05
[25,30)
①
0.20
[30,35)
35
②
[35,40)
30
0.30
[40,45)
10
0.10
总计
100
1.00