福建省福州市福九联盟2024-2025学年高一下学期7月期末联考 数学试卷

这是一份福建省福州市福九联盟2024-2025学年高一下学期7月期末联考 数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A．B．C． D．
6、要得到函数 y = cs(2x +π)的图象，只需要将函数 y = cs 2x 的图象（）。
ππ
1、已知集合M = {x|−4 < x < 2}，N = {x|−2 ≤ x < 3}，则M ∪ N = （）。A．向左平移π个单位 B．向右平移π个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
A．{x|−4 < x < 3 }B．{x|x > −4 }
C．{x|−2 ≤ x < 2}D．{x|x < 3 }
7、已知定义在R上的奇函数f(x)周期为 3，当x ∈ 3,
（）。
2
9
2
时，f(x) = 5−2x，则f −
2
1
2
的值为
x33
2、下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）。
A．y = 1B．y = 1C．y= −x x
3、复数z满足(1−i)z = 2，则z的虚部为（）。
D．y = lg1x
3
A．-4B．2C．-2D．4
8、如图，某人在水平地面上的点 O 处观测垂直水平面的墙面 ABC 上的动点 P，观测点 O 到墙面的距离 OA=12m， 墙角处点 B 到点 A 的距离 BA=16m， 墙面上ABC  60∘，当动点 P 沿射线 BC 在墙面上移动时，仰角θ(直线 OP 与水平面所成的角)正切值的最大值为（）。
A．−1B．1C．−iD．i
4、用抽签法从学号为 1 到 50 的 50 名学生（其中含学生李华）中不放回抽取 5 名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取 5 次，设李华第一次被抽到的概率为a ，第五次被抽到的
5 3
3
5 3
9
5 3
12
3
4
学校： 高一年班号
姓名： 准考证号：
概率为b ，则（）。
1
，b =
1
B．a =
1
，b =
1
C．a =
1
，b =
1
D．a =
1
，b =
1
50
10
50
50
10
46
10
10
A．a =
5、下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（）。
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9、下列命题正确的是（）。
如果直线 a，b 和平面α满足 a / /α， b / /α，那么 a / /b
已知平面α,β和直线 m，n ，若 m α， n   ， m / /β， n / /β,则α/ /β
12、已知一组数据 7，7，8，9，10，11，13，16，则这组数据的 80%分位数是.
已知平面α,β和直线 m，n ，若α β ， m α，α β n,
m  n
,则m  β
13、在矩形 ABCD 中，AB=2,AD=1，点 M 满足AM = 1(AB + AC)，则MB ⋅ MD =.
2
14、设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A) = 1，P(B) = 3，P(AB) = 1，则P(A ∪ B) =
已知平面α,β和直线 m，n ，若 m / /β， m α，α β n ，则
m / /n
346
10、甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮中甲答对的概率
为3，乙答对的概率为2，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，
四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（13 分）袋子中有 4 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，2 个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，事件A1表示“第一次摸得红球”，事件A2表示“第二次摸得黄球”，
43
则以下说法正确的是（）。
每轮活动中，甲获胜的概率为1
4
用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件A1，A2；
7(2)计算P(A1)，P(A2)，并判断事件A1和事件A2是否相互独立，并说明理由．
每轮活动中，平局的概率为
12
甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 1
144
甲至少获胜两轮的概率为 5
32
11、如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是
B1C1，A1B1，CD
的中点，
16、（15 分）在△ ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(sinA + sinB)2 = sin2
Q 是正方形 ABCD 内的动点，则（9）。
2
平面 AMN截正方体所得截面面积为
9π
经过 A，D1 ,P，N 四点的球的体积为 2
6
若 PQ 垂直于 AM,则 Q 的轨迹长度为
1
C + 3sinAsinB，
2
(1)求角 C；(2)若cs A = 3,c =，求 b．
5
三棱锥A-PMN的体积为 3
第Ⅱ卷
17、（15 分）2025 年 5 月 25 日，平潭综合实验区成功举办半程马拉松赛。志愿服务是赛事成功举办的重要保障。在该赛事志愿者选拔工作中，工作人员随机抽取 100 名候选者，将其面试成绩按要求分成六组：[40,50)、[50,60)、…、[90,100]，并根据数据绘制了频率分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
布直方图（如图所示）。
估计这 100 名候选者面试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
已知落在[50,60)区间内的面试成绩平均数为 55，方差为 16，落在 [60,70)区间的面试成绩平均数为 67，方差为 20，试估算在区间[50,70)内所有面试成绩的平均数和方差。
18、（17 分）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的 优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑P−ABC中，PA ⊥ 平面ABC，若 PA=AB=BC=2,E 为 PB 的中点，M,N 分别为 AE，AC 的中点，
证明：MN//平面 PBC；
求 MC 与 AP 所成的角的正切值；
若F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由。
19、（17 分）如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1 ⊥ 平面B1BCC1，AC = BC， AC ⊥ BC，
且AC = 2A1A = 2A1C1 = 2C1C = 2。
证明：AC1 ⊥ BC；
求直线AC1与平面A1B1C1所成的角的大小；
线段B1B上是否存在点E，使得二面角E−AC−B的平面角正切
值为 3 ？若存在，求出线段BE的长，若不存在，请说明理由。 4
高一年级（数学）评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
B
D
C
B
A
一、单项选择题（ 每小题 5 分， 共 40 分）
事件?1和事件?2不独立，理由如下：
由（1）得?(Ω)=12，?(?1)=6，?(?2)=68
又因为?1?2={(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4)} ，所以?(?1?2)=4.9
二、多项选择题（ 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四
?(?)61
?(?)61
个选项中， 有多项符合题目要求． 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部
分分， 有选错的得 0 分）
所以?(?) = ?(Ω) = 12 = 2，?(?2) = ?(Ω) = 12 = 2，10
题号
9
10
11
答案
C D
ABD
ABD
所以?(? ? ) = ?(?1?2) = 4 = 1，11
1 2?(Ω)123
111
因为?(?)?(?2) = 2 × 2 = 4 ≠ ?(?1?2)，12
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
12. 1313.-1
4
14. 5
12
所以事件?和事件?不独立．13
π
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤）
16 题【答案】（1）? = 3
（2）? = 4 6+9 2
15
15 题
解：（1）设 2 个红球分别标为1,2，2 个黄球分别标为3,4,则从中不放回地依次随机摸出 2 个球，用 x , y  表示可能的结果，x 是第一次摸到的球的标号，y 是第二次摸到的球的标
号，1
则试验的样本空间
Ω {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,1), (2, 3), (2, 4), (3,1), (3, 2), (3, 4)，(4,1), (4, 2), (4, 3)}，3
【详解】（1）因为(sin? + sin?)2 = sin2? + 3sin?sin?，
所以sin2 ? +2sin ?sin ? + sin2 ? = sin2? + 3sin?sin?,（2 分），化简得sin2? + sin2?−sin2? = sin?sin?（3 分），
所以由正弦定理得：?2 + ?2−?2 = ??（4 分），
所以由余弦定理可得cs? = ?2+?2−?2（5 分），
2??
所以cs? = ?? = 1（6分），
事件 A1  “第一次摸到红球”，即 x  1 或 2，于是.
2??2
π
1
A  {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,1), (2, 3), (2, 4)}；4
因为? ∈ (0,π)，所以? = 3（7 分）．
（2）由cs ? = 3，sin2? + cs2? = 1，又? ∈ (0,π)，解得sin? = 4（9 分），
事件 A2 
“第二次摸到黄球”，即 y  3
或 4，于是55
A2  {(1, 3), (2, 3), (4, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}6
因为? = π−?−?，所以sin? = sin(? + ?) = sin?cs? + sin?cs?（11 分），
ππ4133
4+3 3
因为?,?分别是??,??的中点，所以?? ∥ ??2 分
所以sin? = sin?cs3 + cs?sin3 = 5 × 2 + 5 × 2=
（12分）,
10
???2
又??⊄平面???,?? ⊂ 平面???，4 分
在△ ???中，由正弦定理
=得4+3 3 = sin ?（14分），
sin?
所以? = 4 6+9 2（15分）．
15
sin?
103
所以?? ∥ 平面???5 分
方法二：如图，取??的中点为?，连接??,??，则?? ∥
17【详解】【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为 1，得
(0.005 + 0.01 + 0.02 + a + 0.025 + 0.01) × 10 = 1⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯⋯ 2分
解得 a  0.030 ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4分
由 45 0.05  55 0.1 65 0.2  75 0.3  85 0.25  95 0.1  74 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6分
得样本成绩的平均数为 74⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7分
（2）由频率分布直方图知，成绩在[50, 60) 的人数为100  0.1  10 ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ 8分
成绩在[60, 70) 的人数为100  0.2  20 ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 9分
10+20
所以落在[50,70)所有候选者的面试成绩的平均数 z = 55×10+67×20 = 63 ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯11分
??.
又??⊄平面???,?? ⊂ 平面???，
所以?? ∥ 平面???2 分
同理可证?? ∥ 平面???，
因为?? ∩ ?? = ?，??,?? ⊂ 平面???，
所以平面??? ∥ 平面???4 分
又?? ⊂ 平面???，所以?? ∥ 平面???5 分
(2)因为?? ⊥ 底面???，所以 PA ⊥ AB
过 M 点作 MH ⊥ AB，交 AB 于 H 点，则 MH//PA，所以 MC 和 AP 所成的角是∠HMC，…7 分
11
1
10+20
在∆PAB 中，PA=AB，E 为 PB 中点，M 为 AE 中点，所以 MH=??=…………………8 分
方差 . s2
=
10 × 16 + (63−55)2 + 20 × 20 + (63−67)2 =
152
3
42
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 14分
连接 HC，在 Rt∆HBC 中，HB=3，BC=2，所以 HC= ??2 + ??2=59 分
估计落在[50,70)所有候选者的面试成绩的方差为
152
3
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ 15分
所以 tan∠HMC=
??
22
= 510 分
18 题 (用空间向量完成答案对统一扣 2 分）
【详解】（1）方法一：证明：连接??，如图，
??
（3）平面???与平面???垂直.
证明如下：因为?? ⊥ 底面???,?? ⊂ 底面???，所以?? ⊥ ??.
由题意知△ ???为直角三角形且?? = ??，所以?? ⊥ ??.
又?? ∩ ?? = ?,??,?? ⊂ 平面???，
所以?? ⊥ 平面???13 分
又?? ⊂ 平面???，所以?? ⊥ ??.
因为?? = ??,?为??的中点，所以?? ⊥ ??.
又?? ∩ ?? = ?,??,?? ⊂ 平面???，所以?? ⊥ 平面???16 分
因为?? ⊂ 平面???，所以平面??? ⊥ 平面???17 分
19（17 分）（1）5 分（2） 5 分（3） 7 分(用空间向量完成答案对统一扣 3 分）
（1）证明：在三棱台???−?1 ?1?1中，??//?1 ?1，?? = 2?1? = 2?1?1 = 2?1? = 2，
又?? ∩ ?? = ?，??,?? ⊂ 平面???，则?1? ⊥ 平面???，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分则∠?1??为??1与平面???所成的角，
则∠?1?? = ∠?1?? = 90∘−∠???1 = 90∘−60∘ = 30∘，
11??1
（或者:则cs∠? ?? = cs∠? ?? = ??1 = 3，则∠? ?? = 30∘，） ⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
2
又平面???//平面? ?1?1，所以??1与平面?1?1?1所成的角为30∘.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
1
1 (??−? ? )1
在等腰梯形?1???1中，cs∠???1 = 21 1 =
?1?2
，则∠???1 = 60∘⋯⋯⋯⋯ 1 分
1
1
由余弦定理得??2 = ??2 + ?1?2−2?? ⋅ ?1?cs∠???1 = 3，⋯⋯⋯⋯ 2 分则??2 = ??2 + ?1?2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
即??1 ⊥ ?1?，
而平面?1???1 ⊥ 平面?1???1，平面?1???1 ∩ 平面?1???1 = ?1?,⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
??1 ⊂ 平面?1???1，则??1 ⊥ 平面?1???1，
又?? ⊂ 平面?1???1，所以??1 ⊥ ??.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
（2）解：过?1作?1? ⊥ ??，垂足为?，
因为??1 ⊥ ??，又?? ⊥ ??，??1 ∩ ?? = ?，??1,?? ⊂ 平面?1???1，
所以?? ⊥ 平面?1???1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
?1? ⊂ 平面?1???1，则?? ⊥ ?1? ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
解：三棱台???−?1?1?1侧棱??1,??1,??1延长线交于点?，由（1）得△ ???为正三角形，
由?? ⊥ 平面?1???1，?? ⊂ 平面???，则平面??? ⊥ 平面???，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分取AC中点N，连接PN，则?? ⊥ ??，且?? = 3,
而平面??? ∩ 平面??? = ??，?? ⊂ 平面???，则?? ⊥ 平面???，
过?作??//??交??于?，则?? ⊥ 平面???，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分而?? ⊂ 平面???，则?? ⊥ ??，
过?作?? ⊥ ??于?，连接??，则??为??在平面???内的射影，又?? ∩ ?? = ?，??,?? ⊂ 平面???，则?? ⊥ 平面???，
又?? ⊂ 平面???，则?? ⊥ ??，
则∠???为二面角?−??−?的平面角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
若存在?使得二面角?−??−?的平面角正切值为 3
4
，即 tan∠??? = 3 ，
4
设?? = 3? ，则?? = 4?,
因为?? =
??
??
??
??
=
??
，??
??
??
=
??
??
则
,
??
??
+=
??
??
??
??
+
??
= 1，
即 3? + 4? = 1，解得 ? = 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分
323
??2 + ??2
?? =
= 5,?? = 2 2，?1? = 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分
??????1
所以=，即=
，?? = 2 2 < ? ? = 2，
??
??
2 2331
2 2
3
所以线段?1?上存在满足题意的点?,且?? =.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 17 分