江苏省常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（解析版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角，，
因为直线，所以直线的斜率为1，
所以，所以倾斜角为.
故选：.
2. 在等比数列中，，，则的值为（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，则，因为，
所以，解得，所以.
故选：B
3. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 无法判断
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为3，
圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相交.
故选:
4. 在数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】由题意知，，当时，；
当时，；当时，；
当时，；…，
所以数列是周期为3的周期数列，故．
故选：B.
5. 若直线和直线平行，则m的值为（ ）
A. 1B. -2C. 1或-2D.
【答案】A
【解析】由于和直线平行，
所以，解得，
故选：A.
6. 等差数列的前n项和为Sn，当为定值时，也是定值，则k的值为（ ）
A. 11B. 13
C. 15D. 不能确定
【答案】B
【解析】因为，
当为定值时，即为定值，即为定值，
，
所以，解得
故选：B.
7. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A. 13B. 11C. 9D. 8
【答案】D
【解析】如图所示，

圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
故求的最小值，转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，设坐标为，
则 ，解得，故，
因为，可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A. 300B. C. 210D.
【答案】A
【解析】若为奇数，则是偶数，是奇数，
则 ， ①
， ②
①②得：，
所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列；
所以
.
故选:A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 数列的前n项和为Sn，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则数列的前5项和最大
B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足
C. 已知等差数列的前n项和为Sn，若，则
D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列
【答案】ACD
【解析】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确；
选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误；
选项C，，若，则，故C正确；
选项D，若为等差数列，则，，
则为常数)，数列也等差数列，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线
C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为
D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误；
对于B，圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
则圆心距，又，
由，可知，
两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确；
对于C，连接，，，如图，
则易知四边形为正方形，
，点的轨迹是圆心为，半径为的圆，
又点在直线上，故直线与该圆有公共点，
圆心到直线的距离，，
实数的取值范围为，故C正确；
对于D，取AB中点，连接CD，如图所示：
则，
点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径r=1，
，
，即，
，
的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ）
A. 数列是等比数列B.
C. 存在正数，使得恒成立D. 恒成立
【答案】BD
【解析】设图中新构造出的每条线段的长度为，则，其中，
故．而，∴，
故
，
而也符合该式，故，
此时，，故不是等比数列，故A错误．
而，故D正确．
而，故，故B正确．
对任意给定的正数，当时，必有，故C错误．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线和直线垂直，则实数m的值为__________.
【答案】1
【解析】因为直线与直线垂直，
所以，解得
13. 已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________.
【答案】或
【解析】设与直线平行的直线的方程为，
所以 解得或.
所以所求直线的方程为或.
14. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．
【答案】440
【解析】由题意可知：第一项，第二项，第三项，，第项，
根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：1，2，3，，，
总共的项数为，
所有项数的和为
，
由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可，
则①，解得：，总共有，不满足，
②，解得：，总共有，不满足，
③，解得：，总共有，不满足，
④，解得：，总共有，满足，
该款软件的激活码440．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点的坐标为，直线的方程为，求：
（1）点关于直线的对称点的坐标；
（2）直线关于点的对称直线的方程．
解：（1）设，由题意可得，解得，
所以点的坐标为.
（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，
则，解得，
由于在直线上，
则，即，
故直线关于点的对称直线的方程为.
16. 已知数列和数列，为数列的前项和，，，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
解：（1）已知①，
当时，，得，
当时，②，
①-②得：，即，
又，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，则
因为，所以，
又由，得，
所以是首项为，公差为等差数列，则，即
（2）由（1）得，
则
17. 已知圆C过两点，，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线与圆C交于点M，N两点，且，求直线的方程；
（3）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程.
解：（1）依题意，设圆心，半径为r，则，
即，解得，
所以，，得圆
（2）设圆C到直线的距离为d，由，得，
若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意，
若直线的斜率存在，设，
即，
由圆心C到直线的距离为1，即，得，
所以直线方程为，
综上，所求直线的方程为或
（3）依题意设，由两圆外切，可知，
所以，解得或，
所以或，
所以圆D的方程为或
18. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数)，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为
（1）求数列的和公比；
（2）若不等式对任意的成立，求实数的取值范围.
解：（1）设等差数列的公差为，前项和为，
则，所以.
因为是“和等比数列”，
所以，即，对任意都成立，
所以，解得，
所以的和公比为
（2）可知，则，
所以，
所以，
所以，
即，所以.
设，
.
不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立.
当为奇数时，，则；
当为偶数时，，则.
综上，的取值范围是.
19. 已知圆和点
（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程；
（2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；
（3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.
解：（1）当切线斜率不存在时，显然x=1与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1，
所以，解得，则，整理得，
综上，切线的方程为x=1和
（2）由题设，若Px,y，则，整理得，
若存在，使为定值，
又，，
则，
整理得，
即，
整理得，
要使为定值，则，
得，，或，，，
综上，存在定点，定值，或定点，定值
.
（3）设，，，，，
由，则，即，
又，故，同理，
所以直线CD为，又M在CD上，所以，
故点E在直线上.