辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试卷（解析版），共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当“与异面”，若直线与l不相交，由于，则，
又，则，这与和异面相矛盾，故直线与l相交，
故“与异面”是“直线与l相交”的充分条件；
当“直线与l相交”，若与不异面，则与平行或相交，
若与平行，又，则，这与直线和l相交相矛盾；
若与相交，设，则且，得，
即A为直线的公共点，这与 相矛盾；
综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l相交”必要条件；
所以“与异面”是“直线与l相交”的充分必要条件.
故选：C.
2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】若方程表示双曲线，
则，得.
故选：B.
3. 两平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，所以，
则化为，
所以两平行直线与之间的距离为．
故选：C．
4. 设AB是椭圆（）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知，2，，，
．
由题意知，，，关于轴成对称分布，
．
又，
故所求的值为．
故选：D．
5. 已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，不妨令，
则，
整理得，
又，所以，
则，解得，
所以存在定点，使得，
要使最小，即最小，
则，B，D三点共线，且DA垂直于直线时取得最小值，如图所示，
所以的最小值为．
故选：C.
6. 在四棱锥中，平面，二面角的大小为，若点均在球的表面上，则球的表面积最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题设，，，，在一个圆上，故，又，
所以，即，故是四边形外接圆的直径，
由平面，，，平面，则，，，
由，，平面，则平面，平面，
则，
由，，平面，则平面，平面，
则，
故，，都是以为斜边的直角三角形，故中点为外接球球心，
且为二面角的平面角，故，
因为，，
令且，则，，
故，
所以外接球半径，
当时，，此时球的表面积的最小值为．
故选：C.
7. 已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线的图象不关于原点对称
B. 曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
【答案】D
【解析】对于A，结合曲线：，将代入，
方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误；
对于B，令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
故曲线经过的整点只能是，B错误；
对于C，直线与曲线：必有公共点，
因此若直线与曲线只有一个交点，
则只有一个解，
即只有一个解为，即时，无解，故，即实数的取值范围为，C错误，
对于D，由，可得，时取等号，
则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确，
故选：D.
8. 已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在平面中，图①中以B为原点以AB为x轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为，
，
设圆O与AB交于M,由阿氏圆性质知，
，
，
P在空间内轨迹为以O为球心半径为2的球，
若P在四边形内部时如图②,截面圆与分别交于M，R，所以P在四边形内的轨迹为，
在中，，
所以，当P在面内部的轨迹长为，
同理，当P在面内部的轨迹长为，
当P在面时,如图③所示，
面，平面截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，截面圆与分别交于，且，
所以P在正方形内的轨迹为，
所以，
综上：P的轨迹长度为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法命题正确的是（ ）
A. 已知，，则在上的投影向量为
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则
D. 若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
【答案】CD
【解析】对于A，由于，，则在投影向量为，故A错误；
对于B，因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，
所以，所以或，B错误；
对于C，因为P为平面ABC上的一点，所以四点共面，
则由空间向量共面定理以及可得，
，所以，C正确；
对于D：在单位正交基底下的坐标为，即，
所以在基底下满足：
，
故，，，可得，，，
则在基底下的坐标为，故D正确．
故选：CD．
10. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点、点，且，下列判断正确的是（ ）
A.
B. 的离心率等于
C. 双曲线渐近线的方程为
D. 的内切圆半径是
【答案】ACD
【解析】如图所示，
因为分别是，的中点，所以中，，所以轴，
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；
B选项中，直角中，，，，
所以，得：，故B不正确；
C选项中，由，即，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为：，故C正确；
D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，故D正确
故选：ACD.
11. 在直三棱柱中，，，M是的中点，N是的中点，点P在线段上，点Q是线段上靠近M的三等分点，R是线段的中点，若面，则（ ）．
A.
B. P为的中点
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】对于选项AB，连接并延长交于S，连接，
由平面几何知识可得：S是的中点，且N，R，S三点共线，是重心，
因为面，平面，平面平面，所以，
作交于，由直棱柱性质有，因此是平行四边形，，
又由平面几何知识知是中点，因此是中点，
从而，即P为上靠近N的三等分点，所以A正确，B错误；
对于选项C，，因此是平行四边形，所以与互相平分，从而与点到平面的距离相等，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
而，所以C正确；
对于选项D，∵的外心是S，由得平面，
∴三棱锥的外接球球心一定在直线上，
设三棱锥的外接球球心为O，半径为R，，
则，
，
∴，解得：，，
球表面积为，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则_________．
【答案】
【解析】与相减，
可得两圆的公共弦所在线的方程为：，
由圆：可得，圆的半径为4，
圆心到AB直线的距离为，，
因为，
所以，时等号成立，
又因为AB的最小值为，
所以，解得.
13. 如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为______．

【答案】
【解析】因为，故或其补角就是异面直线PD与BC所成的角，
连接PA，易知，，
因为平面平面，菱形中，，
即正三角形，为AB中点，则，所以，又，
所以即为平面与平面所成的二面角的平面角，
因为平面平面，
所以，，所以，
所以，在中，
由余弦定理得，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为．

14. 倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】 设中点为，两渐近线可写成，
设，则，且，
①-②可得，
整理得，，即(*)，
如图，在中，，则,
故，即，
将此式代入（*）得，解得依题意，，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，点分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离
（1）证明：由，得，
则，即，
由平面，平面，则，
而，平面，于是平面，连接，
又平面，则，
由点分别为的中点，得，
所以.
（2）解：连接，交于点E，连接BE，过点C作，F为垂足，
由，侧棱垂直于底面，得且，
又，，平面CBE，则平面CBE，
又平面CBE，则，
又，，平面，
因此平面，即CF为点C到平面的距离，
由平面，平面，
得，，
所以点C到平面的距离．
16. 已知圆.
（1）直线截圆的弦长为，求的值.
（2）记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.
解：（1）圆心到直线距离为，故，解得；
（2），设，由得，
化简得：，即，
所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
圆心距，，两圆相交，
所以两圆有两个公共点，
由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为，
圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为.
17. 如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面.

（1）求四棱锥的体积；
（2）设Q为上一点，若，求二面角的大小.
解：（1）因为平面，平面，平面平面，
所以，同理得，所以，
因为，，，
所以，
所以，
且，
所以，
且，
底面梯形的高为，
所以底面梯形的面积，
在中，，，，
所以，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
所以四棱锥的体积.
（2）因为，，，所以即，
所以，，两两垂直，可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，A2,0,0，，C-1,3,0，，
所以，，，
设，
所以，，
因为，所以，
解得，因此，，
设m=x,y,z为平面的法向量，则，
则，
取，则，，即，
因为平面，所以平面的法向量为，
设二面角为，则，
所以由图二面角的大小为.
18. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆C上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；
（3）过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．
解：（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，则，
将代入中，得，
则，结合，从而，，
椭圆C方程为；
（2）由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，
故设，与椭圆联立，
得，由椭圆与直线只有一个交点，
令，即①，
又过，则②，
联立①②可得，则，即得点为．
设原点O0,0，由，，
故，
从而到距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，
又在椭圆上，从而，关于对称，
故直线方程为
（3）设，，，则，
则①，
又由，
可得②，
结合①②可得，，
又，F1,0，，，
则直线的方程为，
轴，直线与交于，
则，故，
故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,
故线段的最大值为.
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
（1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；
（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
解：（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
（2）设，
由平面经过点，，
所以，解得，即，
所以记平面的法向量为，
与（1）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，
解得．
（3）由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，
，，
设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为．