山东省济南市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省济南市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共14页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】函数，求导得，
所以.
故选：A
2. 用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 24
【答案】D
【详解】根据题意，可从1，2，3，4这四个数中，选出3个数字，进行全排列，
可得组成无重复数字的三位数的个数为.
故选：D.
3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即；
对应的与正相关，且对应的相关性更强，即，
所以.
故选：A
4. 展开式中，常数项为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 12
【答案】C
【详解】，
通项为，
令，所以常数项为.
故选：C.
5. 连续型随机变量，若，，则（ ）
A. 0.8B. 0.7C. 0.6D. 0.4
【答案】B
【详解】由正态分布的对称性可得，
所以.
故选：B.
6. 定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】令函数，求导得，而，
则，函数在上单调递增，又，则，
不等式，解得，
所以所求解集为.
故选：D
7. 由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（ ）

A. 15种B. 30种C. 48种D. 60种
【答案】D
【详解】根据题意，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点，
要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步，
则爬行的路径共有：不同的路径.
故选：D.
8. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】依题意，合格项目的个数，则，，
由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分，
因此，，
则，又，
所以当时，取得最大值.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ）
A. B. 含项的系数为15
C. 各二项式系数和为64D. 各项系数和为64
【答案】AC
【详解】对于A，由的展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式共7项，则，A正确；
对于B，在的展开式中，含的项为，此项系数为，B错误；
对于C，的展开式的各二项式系数和为，C正确；
对于D，取，得的展开式各项系数和为0，D错误.
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的极大值为4
B. 对
C. 的单调递增区间为
D. 当时，
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，
所以，令，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以当时，有极大值，极大值为，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，由A得，的单调递增区间为，故C错误；
对于D，当时，，由A知，单调递减，
所以，即，故D正确，
故选：ABD.
11. 与两人玩游戏，A有标号为的张卡片，B有标号为，的张卡片．规则如下：①双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；②先从手中抽取；③当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则（ ）
A. 若，则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为
B.
C.
D.
【答案】ACD
【详解】选项A：①A先抽则；②A第二次抽则
则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为，A正确；
选项B：当时，有，有；
第一次抽中的概率 (胜)；抽中的概率，此时有，有；
此时有，有，后续获胜概率为，
所以，解得，故B错误；
选项C：当时，
①若先抽，则手中卡片的状态互换，接下来抽，胜的概率为，所以胜概率为，
②若先抽中一张之后，有张卡片，有张卡片（含有和手中卡片相同数字的所有卡片），后续抽后，状态必然变为有张卡片，有张卡片（包含与手中卡片数字相同的所有卡片），则后续胜概率为，
所以，
所以（＊），
所以，故C正确；
选项D：猜测，
验证满足递推关系，由递推关系所确定奇数项的概率是确定的，故猜想成立.
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为_______．
【答案】##0.5
【详解】从5个球中任取2个球的结果有个，取到同色球的结果个，
所以取到的两个球颜色相同的概率为.
故答案为：
13. 两个相关变量x，y的一组数据统计如下表
根据上表可得经验回归方程中的为0.31，据此经验回归方程，当时，y的预测值为_______．
【答案】
【详解】由数表得，
经验回归方程过点，，
即，则当时，.
故答案为：
14. 过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【详解】设点为曲线上的一点，则，
又由，所以，即切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，可得，即，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得极小值，当时，取得极大值，
又因为，
当时，恒成立，且时，，
作出函数的图象，如图所示，
当时，函数的图象与直线在上有3个交点，
即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从某校高一年级全体学生中随机抽取120人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表：
（1）请完成上述列联表；
（2）从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率；
（3）根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关．
参考数据：
．
【答案】（1）列联表见解析；
（2）；
（3）有关.
【小问1详解】
列联表如下：
【小问2详解】
由表格中数据知，60名女生中偏文科的有20名，
所以从女生中随机抽取一人，该女生是偏文科生的概率为.
【小问3详解】
零假设：性别与选科倾向无关，
由表格中数据经计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，
即认为性别与选科倾向有关，此推断犯错误的概率不超过0.05.
16. 已知函数在处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若在上恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【小问1详解】
函数，求导得，
由在处取得极值，得，解得，
此时，当时，，当或时，，
即函数在处取得极值，所以.
【小问2详解】
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，因此，，
不等式在上恒成立，则在上恒成立，，
所以k取值范围是.
17. （1）证明：，其中，；
（2）化简：，其中．
【答案】（1）证明见解析； （2）
【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得，
又由，所以；
（2）解：设，
则，
两式相加，可得，
所以，即.
18. 甲、乙、丙三位同学进行猜拳游戏，规则如下：累计负两局者被淘汰；随机确定第一局的游戏者，另一人轮空；每局游戏的胜者与轮空者进行下一局游戏，负者下一局轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，游戏结束．设每局游戏双方获胜的概率都为．
（1）求甲获得第二局比赛胜利的概率；
（2）在甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率；
（3）已知第一局是由甲、乙进行游戏，记丙参加游戏的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见详解；
【小问1详解】
根据题意，第一局中的游戏者可以为甲乙，甲丙，乙丙，对应事件设为，
，设甲获得第二局比赛胜利为事件，
若甲在第一局参加比赛则必须获胜，且在第二局也获胜，若甲第一局未参加比赛，则只需在第二局获胜即可，
所以，
甲获得第二局比赛胜利的概率.
【小问2详解】
由题知，
，
所以甲获得第二局比赛胜利的条件下，第一局是由甲、乙进行游戏的概率为.
【小问3详解】
由题知比赛最多进行5局，则的取值可以为2，3，4
时，丙分别在第2局和第4局输了比赛，
所以，
时，丙在2,3局获胜，第4局输，第5局继续比赛，
所以，
所以，
则分布列为：
.
19. 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；
（2）；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
函数，求导得，,
令，求导得，，
①当，即时，由，则存在，使得当时，，
函数在上单调递增，当时，，
函数在上单调递增，因此与矛盾；
②当，即时，此时，，
下面证明恒成立即可，即证，
令，求导得，
函数在上单调递减，因此恒成立，
则，即，因此，即恒成立，
所以a的取值范围为.
小问3详解】
由（2）知，当时，，
取，则，
因此，即，
则
，
所以.x
2
3
4
5
6
y
2.8
3.1
3.3
3.8
4.0
性别
倾向
男生
女生
合计
偏理科
40
90
偏文科
10
合计
60
120
01
005
0.01
2.70
3.841
6.635
性别
倾向
男生
女生
合计
偏理科
50
40
90
偏文科
10
20
30
合计
60
60
120
2
3
4