第十一章 第5讲　小专题“磁发散”和“磁聚焦”练习含答案-高考物理一轮专题

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[A] 粒子带正电
[B] C点越靠近B点,粒子偏转角度越大
[C] C点越远离B点,粒子运动时间越短
[D] 只要C点在AB之间,粒子仍然从B点离开磁场
【答案】 AD
【解析】 由题意,粒子从A点进入磁场,从B点离开,由左手定则可知粒子带正电,故A正确;粒子做圆周运动的半径等于磁场区域的半径,根据磁聚焦的原理,当入射方向平行时,这些粒子将从同一点射出,如图所示,从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场,则这些粒子从同一点B射出,从图中看出,C点越靠近B点,轨迹对应的圆心角越小,时间越短,粒子偏转角度越小,故D正确,B、C错误。
[例2] 【“磁发散”模型】(2024·安徽合肥一模)如图,坐标原点O有一粒子源,能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力),所有粒子速度大小相等,不计粒子间的相互作用。圆心在(0,R)、半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏,其中心位于(2R,R)处。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏中心,则( )
[A] 粒子速度大小为qBR2m
[B] 所有粒子均能垂直射在光屏上
[C] 能射在光屏上的粒子中,在磁场中运动时间最长为2πm3qB
[D] 能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
【答案】 C
【解析】 由题意,初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,恰能垂直射在光屏中心,由几何关系有r=R,又qvB=mv2r,解得v=qBRm,A错误;由于所有粒子的速度大小相等,但方向不同,且离开磁场区域的出射点距离O点的竖直高度最大值为2R,并不会全部垂直射在光屏上,B错误;如图甲,由几何关系可得,能射在光屏上的粒子中,运动时间最长的对应轨迹的圆心角为23π,根据周期公式T=2πrv,可得t=13T=2πm3Bq,C正确;
对于射在光屏下端的粒子,如图乙,由几何关系可得θ1=60°,即初速度方向与x轴夹角为θ1=60°,同理,粒子打在光屏上端时,初速度方向与x轴正方向夹角为θ2=120°,则能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足60°≤θ≤120°,D错误。
(满分:50分)
1.(4分)(2024·湖南湘潭开学考试)如图所示,圆形区域半径为r,区域内存在磁感应强度大小为B、垂直于纸面向里的匀强磁场,一束不计重力的带正电粒子,质量均为m,电荷量均为q,以垂直于区域圆直径MN的相同速度飞入圆形匀强磁场区域后发生偏转,都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场区域,不计粒子间相互作用力,则下列说法正确的是( )
[A] 粒子将从M点射出磁场
[B] 所有粒子在磁场中的运动时间相同
[C] 粒子射出磁场区域的速度方向均相同
[D] 粒子速度大小为v=Bqrm
【答案】 D
【解析】 由左手定则可得,粒子从N点射出磁场,选项A错误;由题意可知,粒子偏转半径为圆形磁场区域半径r,根据qvB=mv2r,此时粒子速度为v=Bqrm,选项D正确;最上层粒子在磁场中的运动时间最长,最下层粒子在磁场中运动时间最短,选项B错误;由粒子运动轨迹可知,粒子射出时方向不相同,选项C错误。
2.(6分)(多选)如图所示,坐标原点O有一粒子源,能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力),所有粒子速度大小相等。圆心在(0,R),半径为R的圆形区域内,有垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,磁场右侧有一点 A(2R,32R),已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,粒子的速度方向沿x轴的正方向,则( )
[A] 初速度方向与x轴夹角为120°的粒子经过A点
[B] 初速度方向与x轴夹角为135°的粒子经过A点
[C] 经过A点的粒子在磁场中运动时间为2πm3qB
[D] 经过A点的粒子在磁场中运动时间为3πm4qB
【答案】 AC
【解析】初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后,粒子的速度方向沿x轴的正方向,则粒子的轨迹半径r=R,由qvB=mv2r,可得粒子轨迹半径都为R;根据“磁发散”可知粒子从磁场射出时,速度一定沿x轴正方向,经过A点的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示,根据几何关系有R+Rsin(α-90°)=32R,解得α=120°,故A正确,B错误;该粒子在磁场中的运动时间为t=120°360°×2πmqB=2πm3qB,故C正确,D错误。
3.(4分)(2024·云南曲靖三模)如图所示,纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流,粒子的质量为m、电荷量为+q、速率为v0,不考虑粒子的重力及相互作用。要使粒子都会聚到一点,可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域,设B0=mv0qL。选项A、B、C中的曲线均为半径是L的四分之一圆弧,其中A、B的磁感应强度B=B0,C的磁感应强度B=2B0;D中曲线是直径为L的圆,磁感应强度B=B0。磁场区域的形状及对应的磁感应强度可能是( )

[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 A选项中,已知磁感应强度B=B0=mv0qL,由洛伦兹力提供向心力得qv0B=mv02rA,解得粒子的轨迹半径为rA=L,如图甲所示,可知粒子都会聚到一点,故A正确;B选项中,已知磁感应强度B=B0=mv0qL,由洛伦兹力提供向心力得qv0B=mv02rB,解得粒子的轨迹半径为rB=L,如图乙所示,可知粒子不会聚到一点,故B错误;C选项中,已知磁感应强度B=2B0=2mv0qL,由洛伦兹力提供向心力得qv0B=mv02rC,解得粒子的轨迹半径为rC=L2,如图丙所示,可知粒子不会聚到一点,故C错误;D选项中,已知磁感应强度B=B0=mv0qL,由洛伦兹力提供向心力得qv0B=mv02rD,解得粒子的轨迹半径为rD=L,如图丁所示,可知粒子不会聚到一点,故D错误。
4.(6分)(2024·广西桂林模拟)(多选)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作,可作为太空发动机使用,带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图,实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ,磁感应强度分别为B1、B2。两圆半径均为r,相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都会聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m,电荷量均为+q,进入磁场的速度均为v,不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是( )
[A] B1的大小为mvqr
[B] 从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同
[C] 若B2=2B1,则粒子在磁场Ⅱ边界的射出点在四分之一圆周上
[D] 若B2=0.5B1,则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为2πr3v
【答案】 AD
【解析】 由磁聚焦的特点可知,粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等,即B1qv=mv2r,解得B1=mvqr,故A正确;洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向而不改变其速度的大小,所以从O点进入磁场Ⅱ的粒子速度大小相等,但速度的方向不同,故B错误;若B2=2B1,则r2=mvB2q=12r,可知粒子离开磁场Ⅱ最远的位置与原点的距离为r,如图甲所示,由几何关系,弦所对最大圆心角为60°,故粒子在磁场Ⅱ边界的射出点在六分之一圆周上,故C错误;若B2=0.5B1,则r2′=mvB2q=2r,由此可知,粒子离开磁场Ⅱ运动轨迹的弦越长,运动的时间越长,如图乙所示,粒子在磁场Ⅱ中运动轨迹的最大圆心角为60°,则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为t=16×2π·2rv=2πr3v,故D正确。
5.(14分)(2024·甘肃兰州期末)如图所示,xOy坐标系中,第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场,第四象限与x轴和y轴相切的半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ,其边界与x轴的切点为P点。x轴上方存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为12B 的匀强磁场Ⅱ。在第三象限(-2R,-R)处存在粒子源,带正电粒子由粒子源无初速度释放后进入电场,在电场中加速后进入圆形磁场Ⅰ,又恰好以垂直于x轴的方向经P点进入磁场Ⅱ,最后带电粒子都打到放置在x轴上的收集板上。带电粒子的比荷均为qm,不计粒子间的相互作用和粒子受到的重力。若粒子源在第三象限(-2R,-R2)处,带电粒子仍能打到放置在x轴上的收集板上,求收集板的最小长度L。
【答案】 (4-23)R
【解析】 设粒子在匀强磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的半径为r1,根据几何关系有r1=R,
粒子在匀强磁场Ⅰ中做匀速圆周运动时,根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=mv2r1,根据题中条件可知,粒子源改变位置后带电粒子仍从P点进入匀强磁场Ⅱ,设粒子进入匀强磁场Ⅱ时与x轴正方向的夹角为θ,根据几何关系有r1cs θ+R2=r1,此时带电粒子打在收集板上的落点到P点的距离d=2r2sin θ,且r2=mvq·12B,收集板的最小长度L=2r2-d,解得L=(4-23)R。
6.(16分)(2024·安徽滁州期中)如图所示,O′PQ是关于y轴对称的四分之一圆,在PQNM区域有均匀辐向电场,PQ与MN间的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ上的任一位置经电场加速后都会从O′进入半径为R、中心位于坐标原点O的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直于xOy平面向外,磁感应强度大小为B,粒子经磁场偏转后都能平行于x轴射出。求:
(1)带电粒子的比荷qm;
(2)沿y轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间;
(3)带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。
【答案】 (1)2UB2R2 (2)πBR24U (3)-22R～22R
【解析】 (1)电场中由动能定理可知qU=12mv2,由已知条件结合几何关系可知,带电粒子在磁场中运动的半径r=R,由洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2r,得qm=2UB2R2。
(2)沿y轴正方向入射的带电粒子,设其在磁场中做圆周运动的圆心角为θ,由几何关系得θ=90°,
所以t=θ2πT=14T,且T=2πRv,解得t=πBR24U。
(3)如图,沿QN方向入射的带电粒子,离开磁场的出射点a在y轴上的投影与O′的距离为Δy=R+22R,故a点的纵坐标ya=22R;同理可得,沿PM方向入射的带电粒子离开磁场的出射点b的纵坐标yb=-22R,带电粒子离开磁场时的纵坐标范围为-22R～22R。
如图所示,大量的同种带正电的粒子,速度大小相等,水平入射到圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r),你能证明所有的带电粒子将从磁场圆的最高点B射出吗?反之,如果使上述带电粒子从磁场圆边界上某一点沿不同方向进入磁场,情况又是怎样的?
提示:选图中某一条轨迹,如从A点入射的粒子,连接入射点A和出射点B,则线段AB为磁场圆和轨迹圆的一条弦,其垂直平分线必通过两圆心,由于两圆半径相等,作平行四边形OAO′B,则OAO′B为菱形,边AO′垂直于入射方向,粒子从B点射出;同理,其他入射粒子均从B点射出。若使这些带电粒子从磁场圆边界同一点进入磁场,同样可证明粒子均以相同的方向射出磁场,如图所示。
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与入射点的切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,该点切线方向与入射方向平行