江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，.
故选：B
2. 抛物线y2＝－12x的准线方程是
A. x＝－3B. x＝3C. y＝3D. y＝－3
【答案】B
【解析】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x，
其焦点在x轴负半轴上，且p=6，
则其准线方程为x=3；
故选B．
3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】，即，
因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：.
4. 方程的化简结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据，
可得点到点的距离差的绝对值等于，
结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
，则，，所以，，
故方程为：，
故选：A.
5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径为.
所以圆的半径为，设圆心为，
则，解得，
所以圆的方程为.
故选：A
6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得，解得，
所以两直线分别为，，
所以这两条直线间的距离为.
故选：B.
7. 若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为，
要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，
即为定值，所以.
故选：C
8. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】双曲线对应，，
设，则，
两式相减并化简得，
由于，所以，
而B选项中，点，对应，所以B选项错误.
C选项中，点，对应，所以C选项错误.
A选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，，
所以方程组无解，所以A选项错误.
D选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，
，所以D选项正确.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为-2
C. 直线过定点
D. 三条直线交于同一点
【答案】BCD
【解析】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误.
B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确.
C选项，由得，
由，解得，
所以定点为，C选项正确.
D选项，由解得，
，所以三条直线过同一点-2,3，D选项正确.
故选：BCD
10. 已知圆与圆，则（ ）
A. 过点作圆的切线只有条，则
B. 若圆与圆有且只有条公切线，则
C. 当时，两圆的一条公切线方程为
D. 当时，两圆的公共弦长为
【答案】AC
【解析】圆的标准方程为，圆心，半径为，
圆的圆心为，半径为，
对于A选项，若点作圆切线只有条，则圆心的圆心在圆上，
则有，因为，解得，A对；
对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，
且，
由题意可得，即，
因为，解得，B错；
对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；
对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为，D错.
故选：AC.
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确是（ ）
A. 曲线关于原点对称
B. 直线与曲线有3个公共点
C. 点的纵坐标的取值范围是
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】依题意，曲线，
点都满足方程，
所以曲线关于原点对称，A选项正确.
由消去并化简得，
解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项正确.
由整理得，
令，则有非负根，
而其对称轴，
所以，，
解得，所以C选项错误.
令，则，代入，
化简得，
由于的开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，
由解得（负根舍去），
所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________.
【答案】2
【解析】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上
则且
解之得，（舍）
故答案为：
13. 已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为______.
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，
，
根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，
即的最小值是，
所以周长的最小值为.
14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______
【答案】
【解析】设Px,y，则，
若，则；若，则；
若，则；若，则，
由此画出点的轨迹如下图所示（正方形），
由图可知点的轨迹所围成图形的面积为.
椭圆，对应，，
要使椭圆上有且仅有8个点满足，
根据对称性，由方程组有两个解，且，
所以，整理得，
，
解得，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点.
（1）求的标准方程；
（2）若为上一点，且，求的面积.
解：（1）依题意，设椭圆方程为，
所以，解得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由于，，根据抛物线的定义有：
，整理得，
所以的面积为.
16. 已知圆经过点，且与圆相切于点.
（1）求圆方程；
（2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程.
解：（1）圆的圆心为，半径，
直线的方程是，所以圆的圆心可设为，
则，则，
半径，
所以圆的方程为.
（2）由，令，解得，
，所以直线符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由于，所以到直线的距离为，
所以，解得，
直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
17. 已知双曲线的左、右焦点分别为.
（1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长；
（2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率.
解：（1）由消去并化简得，
设，则，
所以.
（2）依题意，双曲线上存在两点，，满足，
设直线与双曲线另一个交点为，根据对称性可知，
双曲线对应，
则，依题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
则，即.
设，则①，②，
由得，
所以③，
由①③解得，代入②得：
，由于，
所以，整理得，解得.
18. 若动点到点的距离比它到直线的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标.
解：（1）依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离，
所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为.
（2）设，则，由于在轴的正半轴，
所以，则，，
设，的方程为，
由，消去得，
，由，
，解得，则，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线过定点0,1.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（1）求的方程；
（2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.

①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值；
②记的面积分别为，求的取值范围.
解：（1）依题意，，解得，
所以的方程为.
（2）①设直线的方程为，，
由，消去并化简得，
则，
，则，
所以
.
②由题得，，
又，所以，
由椭圆的对称性可知，
所以，
因为直线的方程为，所以，
因为，所以直线的方程为，
将其代入，解得，
所以，
所以，
令，则，
所以，
函数在上单调递增，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以，即，
综上所述，的取值范围是.