【九上HK数学】安徽省安庆市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份【九上HK数学】安徽省安庆市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限；等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣5）2+11D．y＝﹣（x﹣1）2+11
3．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD•AB
4．抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴交点的情况是（ ）
A．有交点B．没有交点
C．有一个交点D．有两个交点
5．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB＝90°）量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．50°C．40°D．80°
7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AFB．DFC．AED．DE
8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（ ）
A．2：7B．5：7C．3：7D．2：5
9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（ ）
A．24mB．20mC．18mD．16m
10．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20 分本）
11．如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是 ．
12．已知反比例函数y＝的图象上有三个点（2，y1），（3，y2），（﹣1，y3），y1，y2，y3大小关系是 ．
13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝ ．
14.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论，①abc＞0；②3a+c＜0：③x＞0时，y随x的增大而增大；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．其中正确的结论有 （直接填序号）
三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分，请在题卷的相应区域答题.）
15．计算：．
16．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝6．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），请你分别完成下面的作图．
（1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）．
18．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．
五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cs∠ACD＝，BC＝4，求AC的长．
20．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，m）和（﹣1，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式x﹣2＞的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
六．（本题满分12分）
21．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
七．（本题满分12分）
22．如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．
①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；
②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？
八．（本题满分14分）
23．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，求证：AD•BC＝AP•BP．
（2）探究
若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若，求CD的长．
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
2．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣（x﹣5）2+11D．y＝﹣（x﹣1）2+11
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．
故选：A．
3．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD•AB
【解答】解：A．当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；
B．当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；
C．当时，再由∠A＝∠A，无法判定△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D．当AC2＝AD•AB，即时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴交点的情况是（ ）
A．有交点B．没有交点
C．有一个交点D．有两个交点
【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣1，
则Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴有两个交点．
故选：D．
5．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
因为每个小正方形的边长均为1，
则由勾股定理得，
，
．
在Rt△ABM中，
．
故选：C．
6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB＝90°）量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30°B．50°C．40°D．80°
【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：
∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，
∴A、C、B、D四点共圆，
∵量角器上点D对应的读数是100°，
∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BCD＝∠BOD＝40°．
故选：C．
7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AFB．DFC．AED．DE
【解答】解：根据作图可知，∠ABD＝90°，，
设DB＝DF＝a，则AB＝2a，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，故A正确．
故选：A．
8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（ ）
A．2：7B．5：7C．3：7D．2：5
【解答】解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H．
则BG＝FH＝CD＝3，
∴EH＝EF﹣FH＝2，AG＝7，
∵AB∥EF，
∴EH：AG＝2：7＝DE：AD＝CF：CB，
∴CF：FB＝2：5．
故选：D．
9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（ ）
A．24mB．20mC．18mD．16m
【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，
由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），
∴0＝a×（﹣24）2+12，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+12，
当y＝9时，
9＝﹣x2+12，
解得x1＝12，x2＝﹣12，
∴点E（﹣12，9），点F（12，9），
∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），
故选：A．
10．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，过F作PF∥BC，交AE于P，过H作HQ∥BC，交AD于Q，
∴，
∵BF是AC边的中线，
∴AF＝FC，
∴AP＝PE，
∴CE＝2PF，
∵D、E是BC边的三等分点，
∴BD＝DE＝EC，
∴BE＝4FP，
∵FP∥BE，
∴△PFH∽△EBH，
∴，
∴，
∵HQ∥BE，
∴△AQH∽△ADE，△HGQ∽△BGD，
∴，
∴，
∴FH：HG：GB＝2：3：5，
∵AF＝FC，
∴，
∴．
故选：C．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20 分本）
11．如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是 10m ．
【解答】解：Rt△ABC中，AC＝5m，tanB＝1：；
∴AB＝AC÷tanB＝5m，
∴BC＝＝＝10m．
答：坡面BC的长度是10m，
故答案为：10m．
12．已知反比例函数y＝的图象上有三个点（2，y1），（3，y2），（﹣1，y3），y1，y2，y3大小关系是 y3＞y2＞y1 ．
【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣k2﹣1，
∴图象的两个分支在二、四象限；
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点（﹣1，y3）在第二象限，点（2，y1）和（3，y2）在第四象限，
∴y3最大，
∵2＜3，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
∴y3＞y2＞y1．
故答案为y3＞y2＞y1．
13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝ 4：25 ．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴△ODE∽△OCA，
∴，
即S△DOE：S△AOC＝4：25，
故答案为：4：25．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论，①abc＞0；②3a+c＜0：③x＞0时，y随x的增大而增大；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，则a＞0，对称轴，则b＝﹣2a＜0，c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），
于是有4a﹣2b+c＝0，联立，解得，
∴3a+c＝3a﹣8a＝﹣5a＜0，所以②正确；
当x＞1图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大，所以③错误；
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，
即：ax2﹣2ax﹣8a＝a﹣5，亦即ax2﹣2ax﹣9a+5＝0，
∴Δ＝4a2﹣4a（﹣9a+5）＜0，即：40a2﹣20a＜0，亦即：，
∵a＞0，
∴，所以④正确；
对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b
＝am2﹣2am﹣a+2a
＝am2﹣2am+a
＝a（m﹣1）2≥0，
故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤．
三．解答题（共9小题）
15．计算：．
【解答】解：
＝2×﹣×﹣
＝﹣﹣2
＝﹣2．
16．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝6．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【解答】解：（1）设a＝k，b＝3k，c＝5k，
∴a﹣b+c＝6，即k﹣3k+5k＝6，
解得：k＝2，
∴a＝2，b＝6，c＝10；
（2）由（1）知a＝2，b＝6，又因为m是a，b的比例中项，
∴m2＝ab，即m2＝12，
∴，
∵m＞0，
∴．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），请你分别完成下面的作图．
（1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）；
（2）以原点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）．
【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；
；
（2）解：如图2所示，△A2B2C2即为所求．
18．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．
【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m，
如图，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，
则CD＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：0.52+（2.5﹣r）2＝r2，
解得：r＝1.3，
答：该门洞的半径为1.3m．
19．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cs∠ACD＝，BC＝4，求AC的长．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵cs∠ACD＝，
∴cs∠B＝，
∴tan∠B＝，
∵BC＝4，
∴tan∠B＝，
∴＝
∴AC＝．
20．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，m）和（﹣1，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式x﹣2＞的解集；
（3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，m）代入直线y＝x﹣2得：m＝1，
∴点A的坐标为：A（3，1），
∵反比例函数的图象过点A，
∴k＝3×1＝3，
即反比例函数的解析式为，
（2）由（1）得：点A的坐标为：A（3，1），
同理可求，点B的坐标为：B（﹣1，﹣3），
∴不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；
（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2，
即点C的坐标为：C（2，0），
∴，
∵S△POC＝3S△AOC，
∴，
∴|yP|＝3，
当点P的纵坐标为3时，则，解得x＝1，
当点P的纵坐标为﹣3时，则，解得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．
21．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC•sin60°＝18×＝9（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（9+2）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（9+2）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝18×＝9（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
22．如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．
①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；
②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？
【解答】解：（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，
∴可设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，
将点（0，1.8）代入可得，
∴抛物线为，
（2）①由题可知M点坐标为（10，2），
设直线OM的解析式为y＝kx，把点M的坐标（10，2）代入得：10k＝2，
解得，
∴直线OM解析式为：，
∴，
∴y1﹣y2的最大值为．
②设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为，
将点N（10，3.75）代入得：，
解得：m＝3或m＝﹣7（舍去），
∴喷射架应向后移动3米．
23．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，求证：AD•BC＝AP•BP．
（2）探究
若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若，求CD的长．
【解答】解：（1）证明：如图1，∵∠DPC＝90°，
∴∠BPC+∠APD＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADP∽△BPC，
∴AD：BP＝AP：BC，
∴AD•BC＝AP•BP；
（2）结论AD•BC＝AP•BP仍成立；
理由：如图2，∵∠BPD＝∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD＝∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC＝∠A+∠ADP，
∵∠DPC＝∠A＝α，
∴∠BPC＝∠ADP，
又∵∠A＝∠B＝α，
∴△ADP∽△BPC，
∴AD：BP＝AP：BC，
∴AD•BC＝AP•BP；
（3）∵∠EFD＝45°，
∴∠B＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，
∴AB：DF＝AD：DE，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴DF＝4，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，
∵∠EFD＝45°，
∴∠DEC＝∠EFC＝180°﹣45°＝135°，
又∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△EFC，
∴DC：EC＝EC：CF，即EC2＝FC•（4+FC），
∵，
∴5＝FC（4+FC），
∴FC＝1，
解得CD＝5．