2024-2025学年青海省西宁二中教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年青海省西宁二中教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)=x3−1x2，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)4Δx=( )
A. 14B. 12C. 52D. 54
2.已知等比数列{an}共有2n项，其和为−240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
3.函数f(x)=12x2−lnx的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.在数列{an}中，a1=0，an+1=an+ln(1+1n)，则{an}的通项公式为( )
A. an=lnnB. an=(n−1)ln(n+1)
C. an=nlnnD. an=lnn+n−2
5.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若SnTn=3n+4n+2，则a5+a7b2+b10=( )
A. 3713B. 11113C. 11126D. 3726
6.设函数f(x)是定义在(−∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)+xf′(x)cB. c>b>aC. a>c>bD. c>a>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的有( )
A. (2x)′=x⋅2x−1B. [ln(2x+1)]′=22x+1
C. (ex+1ex)′=ex−1exD. (sinxcs3x)′=3−2cs2xcs4x
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d且满足a1>0，S8=S11，则下列描述正确的是( )
A. S9是唯一最大值B. S10是最大值C. S19=0D. a10=0
11.下列命题正确的有( )
A. 若y=csπ4，则y′=−sinπ4
B. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12
C. 若f(x)=f′(1)x2−x，则f′(1)=1
D. 曲线y=x3−x+3上点P处切线的倾斜角α的取值范围是[0,π2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}中，a1=3，an+1=3an+2⋅3n+1，n∈N∗，则数列{an}的通项公式为______．
13.某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 ．
14.已知函数f(x)=x3−mex有三个极值点，则实数m的取值范围是______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)求曲线y=sinxx在点M(π,0)处的切线方程；
(2)已知函数f(x)=(x2−2x+1)ex，求过点(1,0)且与f(x)图象相切的直线的方程．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an−2n−1(n∈N∗)．
(1)证明：{an+1}是等比数列；
(2)设bn=n(an+1)4，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax+1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式xf(x)≥2(x−a)在[1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
在等差数列{an}中，a3=7，a9=−5，{an}的前n项和为Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn=|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，求Tn．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−ax+1．
(1)求f(x)的极值；
(2)证明：lnx+x+1≤xex．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.A
6.C
7.B
8.D
9.BCD
10.BCD
11.BC
12.an=(2n−1)⋅3n
13.498
14.(0,12e2)
15.解：(1)因为y′=xcsx−sinxx2,y′|x=π=πcsπ−sinππ2=−1π，
所以所求切线方程为y−0=−1π(x−π),y=−1πx+1；
(2)因为f(x)=(x2−2x+1)ex，
所以f′(x)=(x2−2x+1+2x−2)ex=(x2−1)ex，
设过点(1,0)的切线切曲线于点(t,(t2−2t+1)et)，
则切线方程为y−(t2−2t+1)et=(t2−1)et(x−t)，又其过(1,0)，
所以0−(t2−2t+1)et=(t2−1)et(1−t)，
所以(t−1)2et=(t+1)(t−1)2et，
所以(t−1)2=(t+1)(t−1)2，
所以(t+1)(t−1)2−(t−1)2=t(t−1)2=0，解得t=0或t=1，
所以切线方程为y−(02−2⋅0+1)e0=(02−1)e0(x−0)或y−(12−2⋅1+1)e1=(12−1)e1(x−1)，
即y=−x+1或y=0．
16.(1)证明：∵2Sn=3an−2n−1(n∈N∗)，
∴当n=1时，2a1=3a1−2−1，解得a1=3；
当n≥2时，2Sn−1=3an−1−2n+1，
∴2(Sn−Sn−1)=3(an−an−1)−2，即an=3an−1+2，
∴an+1=3(an−1+1)(n≥2)，又a1+1=4．
∴数列{an+1}是以4为首项，3为公比的等比数列．
(2)解：由(1)可得an+1=4×3n−1，∴bn=n(an+1)4=n×3n−1，
则Tn=1+2×3+3×32+⋯+n×3n−1，
3Tn=1×3+2×32+3×33+⋯+(n−1)×3n−1+n×3n，
两式相减有−2Tn=(1+3+32+⋯+3n−1)−n×3n=1−3n1−3−n×3n=−12+1−2n2×3n．
∴Tn=14+2n−14×3n．
17.(1)函数f(x)=lnx−ax+1的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x+ax2=x+ax2(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a0，解得x>−a，由f′(x)