广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共35页。
注意事项：
1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．
3、考试结束，监考人员将答题卡收回．
第一部分选择题
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）
1. 如图所示，该几何体的左视图是 （ ）
A B. C. D.
2. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 四个角都相等的四边形是矩形
4. 在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共计15分）
9. 方程的解是________．
10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高___．
11. 如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是______．
12. 如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为____________．
13. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．

三、解答题（共计61分）
14. 用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
15. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格，其中_____，_____；
（2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°；
（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率．
16. 如图，在正方形格纸中．
（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，并写出点B坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点A的对应点的坐标；
（3）若线段绕原点O旋转后点B的对应点为，写出点的坐标．
17. 如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）下列条件：①点是的中点；②平分；③点A与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程．
选择条件：_____（填序号），理由如下．
（2）若，，，求四边形面积是多少．
18. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
（1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
19. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
20. 阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”．
（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____）
（2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____）
问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程．
证明：分别过点，作于点，于点，得到图，
，又，
（_____），．
，
，
即．
延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：．
结论应用：
（1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ．
（2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ．
高级中学2024-2025学年第一学期期中测试
初三数学
命题人：孙悦 董博 审题人：王黎
注意事项：
1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上．
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．
3、考试结束，监考人员将答题卡收回．
第一部分选择题
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）
1. 如图所示，该几何体的左视图是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的三视图的定义是解题的关键．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间有一条横向的虚线，故选项C符合题意．
故选：C．
2. 若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴相似三角形的对应边比为，
故选．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 四个角都相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的判定，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意；
C、对角线互相相等且垂直的平行四边形是正方形，选项说法错误，符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，选项说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查（特殊）平行四边形的判定方法．熟练掌握（特殊）平行四边形的判定方法，是解题的关键．
4. 在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题．根据金色纸边的宽度为，则挂图的，宽就为，根据题目条件列出方程整理即可．
【详解】解：根据金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，
由题意得：，
整理得出：．
故选：A．
5. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点P的运动路线可得出点P纵坐标的变化，从而可确定函数图象．
【详解】解：∵点P在正方形ABCD的边上运动，
∴点P的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系的图象应该有四条，分别是：
①当点P在AB上，由点A运动到点B时，纵坐标y的值由2变为1；
②当点P在BC上，由点B运动到点C时，纵坐标y的值不变为1；
③当点P在CD上，由点C运动到点D时，纵坐标y的值由1变为2；
④当点P在DA上，由点D运动到点A时，纵坐标y的值不变为2；
由此可知选项D正确，
故选：D
【点睛】本题是一道动点的函数问题．主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
7. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．首先根据一元二次方程根与系数的关系得到、，再根据菱形的面积公式求出，利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可以得到菱形的边长为，然后再经计算求解．
【详解】解：设、是关于的一元二次方程的两个实数根，
则菱形的两条对角线的长为、，
，，
根据菱形的面积为21可得：，
，
菱形的对角线互相垂直平分，
菱形的边长为：
，
．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计15分）
9. 方程的解是________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据因式分解法解方程即可．
【详解】
∴或
∴该方程的解为：，
故答案为：，
【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．
10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高___．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：和均为直角，
，
，
，
，，，
．
故答案为：5．
11. 如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：将4张卡片分别记为、、、，则属于化学变化的有、，
画树状图如下：
，
共有12种等可能出现的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的情况有种，
∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是，
故答案为：．
12. 如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的面积，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．先根据正方形的性质得到阴影部分是直角梯形，再证明，，利用相似三角形的性质求得，，进而求得，，然后利用梯形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意，，，，
，，
∴阴影部分是直角梯形，
又∵，
∴，，
∴，，
即，，
解得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
三、解答题（共计61分）
14. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解答即可；
（2）先移项，再提取公因式，然后因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
∵，
移项，得，
配方，得，即，
开方，得，
，．
【小问2详解】
移项，得
因式分解，得
即或，
，．
15. 某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
（1）完成上述表格，其中_____，_____；
（2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域扇形的圆心角约是_____°；
（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1），；
（2）；；
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率和用树状图或列表法求概率．
（1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是；
（3）可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角；
（4）画出树状图，用题意的情况数除以总的情况数即可．
【小问1详解】
解： 由题意可得，；
；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
故答案为：；；
【小问3详解】
解：，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
【小问4详解】
解：树状图如下：
共有9中等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种，
故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为．
16. 如图，在正方形格纸中．
（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，并写出点B坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点A的对应点的坐标；
（3）若线段绕原点O旋转后点B的对应点为，写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）或
【解析】
【分析】该题主要考查的知识点是：利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键，是个基础型的题目．
（1）以与A点左边相距2个单位长的格线所在的直线为y轴，以与A点下方3个单位长的格线所在的直线为x轴，两直线交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，即可得到B的坐标；
（2）连接并延长使，连接并延长使，连接并延长使，连接，可得为所求的三角形；
（3）画出图形即可解决问题．
【小问1详解】
解：建立平面直角坐标系，如图所示，
由图形可得：；
【小问2详解】
解：如图所示：即为所求，由图形可得：；
【小问3详解】
解：若线段绕原点O顺时针（或逆时针）旋转后点B的对应点为（或），
则点的坐标为或．
17. 如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）下列条件：①点是的中点；②平分；③点A与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程．
选择条件：_____（填序号），理由如下．
（2）若，，，求四边形的面积是多少．
【答案】（1）②（答案不唯一），见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）选择条件：②，易得四边形为平行四边形，再推出可得，进而证明邻边相等，因此邻边相等的平行四边形是菱形；选择条件：③易得四边形为平行四边形，由点与点关于直线对称，得到，，证明，求得，因此对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形；
（2）通过已知条件证得为直角，根据勾股定理得，再求解，进而问题可求解．
【小问1详解】
证明：我选择条件：②，
理由如下：∵四边形矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
我选择条件：③，
理由如下：连交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵点与点关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当点是的中点，只能证明四边形是平行四边形，不能证明四边形是菱形．
故不选择①；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，则，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴四边形的面积是．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
（1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）
（2）20元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
（1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可；
（2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设售价降低y元，
，
解得：，
当时，，
当时，，
∵，
∴为了尽量减少库存，售价应降低20元．
19. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
【答案】任务1：；任务2：，；任务3：．
【解析】
【分析】任务1：令，将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可；
任务2：令，将代入，将其看作关于字母的一元二次方程，利用判别式求的k得范围，即可确定的最大值；
任务3：过点B作，根据题意可得，，，利用勾股定理得，令，则有，将其看成关于a的一元二次方程，利用判别式求得y得范围，可知最大值，则有，结合代入消元法求解即可．
【详解】任务1：
解：根据素材中的判别式法，令．整理得．
关于x的一元二次方程，，
解得：．故y的最小值为．
任务2：
解：∵，
令，则．
将代入，得．
把看作是关于x的一元二次方程，则，
解得
则
的最大值为．
任务3：
如图，过点B作，点E为垂足．
根据题意，，，，．
在，，
在中，
即
整理得，，
令，则，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：．
解不等式得，则k的最大值为26，即的最大值为26．
把代入得．
解方程得，，
故当最大时，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式、勾股定理、含度角的直角三角形以及解一元二次方程，锐角三角函数的应用，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答．
20. 阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”．
（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____）
（2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____）
问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程．
证明：分别过点，作于点，于点，得到图，
，又，
（_____），．
，
，
即．
延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：．
结论应用：
（1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ．
（2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ．
【答案】阅读理解：（）；（）；问题提出：，；延伸探究：证明见解析；结论应用：（）；（）．
【解析】
【分析】阅读理解：（）根据题中定义即可判断；
（）根据题中定义即可判断；；
问题提出：分别过点，作于点，于点，证明，然后根据题中定义即可；
延伸探究：过作于，过作交的延长线于，则，然后根据题中定义即可；
结论应用：
（）取的靠近三等分点，连接并延长交于点，连接，得，然后代入即可求解；
（）连接，由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得：，再根据即可求解；
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：阅读理解：（）根据新定义可知，三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形，
故答案为：“”，
（）两个等腰三角形不一定是共角三角形，
故答案为：；
问题提出：证明：分别过点，作于点，于点，如图，
∵，又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：，；
延伸探究：证明：过作于，过作交的延长线于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
结论应用：（）取的靠近三等分点，连接并延长交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图，连接，
∵四边形的面积为，
∴，
∵使，，，，
∴由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得：，
则，，则，
，则，，则，
∴
，
故答案为：．转动转盘的次数n
100
200
400
500
800
1000
落在“可乐”区域的次数m
60
122
240
295
a
604
落在“可乐”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
关于最值问题的探究
素材1
“主元法”是指在有多个字母代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了．
素材2
对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1
感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2
探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____．
任务3
应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值．
转动转盘的次数n
100
200
400
500
800
1000
落在“可乐”区域次数m
60
122
240
295
a
604
落在“可乐”区域的频率
0.6
0.61
0.6
b
0.59
0.604
关于最值问题的探究
素材1
“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了．
素材2
对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1
感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2
探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____．
任务3
应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值．