贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期11月联考数学试卷（解析版）

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期11月联考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 已知点，则， 下列命题正确的是， 已知点在直线上，则的最小值为， 已知直线，则， 已知几何体为长方体，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在正方体中，下列向量与平行的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，在正方体中，.
故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，
所以直线的斜率，即，
又，所以倾斜角.
故选：C.
3. 已知点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得
所以cs=OA⋅OBOAOB=13×5=1515.
故选：A.
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 一条直线的方向向量是唯一的
B. 若直线的方向向量与平面的法向量平行，则
C. 若平面的法向量与平面的法向量平行，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
【答案】B
【解析】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误；
对于B:若直线的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确.
对于C:若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误.
对于D:若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误.
故选：B.
5. 直线在轴､轴上的截距之和的最小值为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】可化为，
则直线在轴､轴上的截距之和为，
当且仅当时，等号成立，所以截距之和的最小值为.
故选：A.
6. 在正四面体中，为棱的中点，，则（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】B
【解析】因为为棱的中点，所以，
所以.
故选：B.
7. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，，则，，即，①.
因为点A在圆上运动，所以满足②.
把①代入②，得，即.
故线段OA的中点P的轨迹方程为.
故选：D.
8. 已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】如图，设关于直线对称的点为，
则解得，则，
所以.
故选：D.

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 不存在实数，使得
D. 与直线之间的距离为
【答案】BCD
【解析】对于选项AB：若，则，即，故A错误，B正确；
对于选项C：若，则，即，
此时，即与重合，故C正确；
对于选项D：与直线之间的距离为，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知几何体为长方体，则（ ）
A. 在方向上的投影向量为
B. 在方向上的投影向量为
C. 在方向上的投影向量为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】AC
【解析】如图：
在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确；
因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误；
因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确；
虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误.
故选：AC.
11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ）
A. 若圆与圆外切，则或
B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
C. 若圆与圆关于点对称，则
D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点
【答案】ABD
【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确．
当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确．
若圆与圆关于点对称，则解得，C错误．
当时，圆：，圆：，
则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确．
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知直线经过定点，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】由，得，
令,得到,x=0,
则点的坐标为.
13. 曲线的长度为__________，若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由，得，
则曲线表示圆的上半部分，半径为，
故曲线的长度为；
根据题意，作图如下：

因为圆圆心到直线的距离，
所以，
数形结合可知，当直线经过点时，，
故当时，直线与曲线有公共点.
14. 如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积__________，直线与平面所成角的正弦值为__________.
【答案】
【解析】①运用台体体积公式计算，.
②建立如图空间直角坐标系，则，，
所以.
设平面的法向量为n=x,y,z，则取，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
解：（1）由，可知，
故所求直线的方程为，即.
（2）易知，则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为，即.
16. 已知直线，圆.
（1）若，判断直线与圆的位置关系；
（2）若，直线与圆交于两点，求.
解：（1）圆的标准方程为，圆心为，半径.
设圆心到直线的距离为，
因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
（2）设圆心到直线的距离为，
由（1）知圆心到直线的距离，
所以.
17. 在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：连接，，
因为，所以.
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，进而.
因为，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O0,0,0，，，，，
所以，.
因为，所以，
则，，
又，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）得，，，.
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，则，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
18. 如图，平面分别为线段的中点，为线段上的点，且直线与平面所成角的正弦值为.

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
（1）证明：因为平面平面，所以.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

，，
.
设平面法向量为，
则令，得，得.
因为，所以，故平面.
（2）解：连接.因为，都在平面内，
所以平面，又在平面内，则，
又，所以.
因为是的中点，所以，都在平面内，
所以平面，则为平面的一个法向量.
设，
则.
根据题意可得
解得或（舍去），
则.
因为平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称.
（1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值.
（2）过点Q作轴，垂足为E，，点D满足.
①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r；
②证明：直线QG与圆C相切.
（1）解：设，.，.
记坐标原点为O，直线OQ的斜率为，.
.
综上，为定值，定值为.
（2）①解：在中，AD为斜边，OF为斜边上的中线，所以.
又因为，所以，.
因为，所以，解得.
②证明：因点在圆C上，所以.
直线AE的斜率为，直线AD的斜率为，
直线AD方程为.
令，得，则，.
直线QG的方程为，即，
原点O到直线QG的距离
，
所以直线QG与圆C相切.