浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，，
所以
故选：C.
2. 直线关于y轴对称的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】直线与两坐标轴的交点分别为和，
因为这两点关于y轴的对称点分别为和，
所以直线关于y轴对称的直线方程为
故选：A.
3. 在空间直角坐标系中，向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，，
则向量在向量上的投影向量为 .
故选：D.
4. 若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则α与β相交D. 若m⊥α，，则α⊥β
【答案】D
【解析】若，不一定成立，也可能相交，故AC错误；
若，则或，故B错误；
若，则必有一直线且，所以，又，所以，故D正确.
故选：D.
5. 已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
则，
故函数的图象的对称中心的坐标为.
故选：A.
6. 已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个
【答案】C
【解析】因为三条直线，，将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，
当三条直线交于一点时，联立可得，此时，即，
当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，
所以或
故选：C.
7. 已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 9
【答案】A
【解析】因为抛物线过点，则，则，
即抛物线的标准方程为，焦点坐标，准线方程为；
圆：，圆心为，半径为1，
故直线PQ过抛物线的焦点，显然直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为，；
联立，整理可得，
所以，，
再由焦半径公式可得，
则
，
所以
；
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为
故选：A.
8. 已知棱长为1的正方体内接于球O，在球O与正方体之间放入一个小正方体，则小正方体的棱长的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题，棱长为1的正方体内接于球，令球的半径为，
则球的直径即为正方体的体对角线，，所以，
当小正方体下底面与正方体相接，且上底面的四个顶点均在球面上时，
小正方体的棱长最大，此时小正方体的正中心与球心的连线垂直于正方体的上下底面，
令小正方体的棱长为，
由球心，小正方体上底面的中心，小正方体上底面的顶点组成的三角形为直角三角形，
有，将代入，解得，
故小正方体的棱长为，
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（ ）
A.
B. 本组样本的众数为250
C. 本组样本的第45百分位数是300
D. 用电量落在区间内的户数为82
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，
解得，故A正确；
对于B，样本的众数位于内，但不一定是250，故B错误；
对于C，前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，
故第45百分位数位于内，设其为，
则，解得，故C正确；
对于D，的频率为，
故用电量落在区间内的户数为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 若圆C关于直线l对称，则
C. 若直线l与圆C相切，则
D. 当时，取y轴上一点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，直线l：k，即，
令，则，解得，，
所以直线|恒过定点，故A正确;
对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心，
所以，解得，故B错误;
对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1，
即，解得，故C正确;
对于D，当时，直线，点关于直线l的对称点，
则有，解得，即，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线l过点且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为和的内心，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线l斜率的取值范围为
B. 点M与点N的横坐标都为a
C. 为直角三角形
D. 面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】因为双曲线的其一条渐近线为，
故双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和，
作图可知，

若直线l过点且与双曲线C的右支有两个交点，
则直线l倾斜角的取值范围为，则直线l斜率的取值范围为，故A错误；
设焦距为2c，由题可知，故，
如图，过点M分别作，，的垂线，垂足分别为D，E，H，
易得，，，
因为，所以，
又，得，，
所以，M点横坐标为a，
同理可得N点横坐标也为a，故B正确;
设直线l的倾斜角为，则，
所以，即是直角三角形，故C正确;
易得，则，，
所以，，，
由对勾函数可得，当且仅当时等号成立，则最小为，
所以三角形的面积的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若A，B为两个相互独立的事件，，，则______.
【答案】
【解析】因为 相互独立，所以与B也相互独立，
又，，
所以，
所以
13. 若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则__________.
【答案】
【解析】函数 的图象向右平移 个单位后，
得到，
当时，，
在上单调递减，
，，
又，
14. 已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为__________.
【答案】
【解析】在棱长为2的正四面体中，
由点M，N为棱BC，AD的中点，得，
由点E，F分别在线段AM，CN上，，
令，则，
所以
，又，
，，
故
，
当时，，所以线段EF长度的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的5个小球，其中有3个黑球标号为1、2和，2个白色球标号为4和若一次性从盒子中取出2个小球.
（1）写出试验的样本空间;
（2）求取出的小球恰好是1个黑球和1个白球的概率.
解：（1）；
（2）设事件A为取出的小球恰好是1个黑球和1个白球，
则，.
16. 已知圆心在直线上的圆C经过两点和
（1）求圆C的方程;
（2）设点，若圆C上存在点P满足，求实数a的取值范围.
解：（1）设M，N的中点为点A，则A点坐标为，易知，
则过A点且与直线MN垂直的直线方程为，解得，
又圆心也在直线上，联立，解得，
即圆心为，又易知，
因此圆C的方程为；
（2）设，，，
由题可得，
，，
化简得，
可知点P轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
依题意可知圆C与圆有公共点，即，
解得
即实数a的取值范围为
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，点为线段的中点.

（1）证明：平面；
（2）若为线段上一点，且，为何值时，直线与平面所成角的正弦值为?
（1）证明：取线段 中点G，连结，
，G分别是线段的中点，
且，
，，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
（2）解：因为平面，平面，
所以，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
设直线与平面所成角为，

已知，，，，
则可得，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，则，
线段上一点，且，，
所以，
，
，解得
18. 已知直线l是过椭圆上一点的切线.
（1）已知椭圆C的切线l过，求切线l的方程;
（2）求两焦点，到直线l的距离之积;
（3）若圆心在原点的圆与直线l也相切，且与椭圆C相交于点Q，若P，Q都在第一象限，求面积的最大值.
解：（1）设，
则，
，可得，
则l为或；
（2）证明椭圆切线方程一般形式：
①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为，
联立方程，整理得，
由可得，
所以
由韦达定理可知，即，
把代入中，得，
所以，化简得．
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式．
综上，椭圆上一点的切线方程为．
因为满足，所以直线，
左右焦点，到直线l的距离分别为，，
；
（3）①当l斜率不存在时，此时不满足题意；
②当l斜率存在时，设，，，
其中直线，
对于圆，其中，
则，可得，
，
令，
，
因为，所以由对勾函数性质可得，
则，即面积的最大值为.
19. 在平面直角坐标系xOy中，定义：为，两点之间的“折线距离”.
（1）已知，动点满足，求动点M所围成的图形的面积;
（2）已知Q是直线上的动点，对于任意点，求证：的最小值为
（3）已知E是函数上的动点，F为函数上的动点，求的最小值.
解：（1），
则图形为正方形,其中，，
所以面积为 ；
（2）当时，

，
当且仅当时取等号，
（由图1，，（图中与相应坐标轴垂直），
，，）
当时，
，
当且仅当时取等号；
（由图2，，（图中与相应坐标轴垂直），
，）
综上，的最小值为
（3）设，，，
当且仅当时有最小值，为单调递减函数，
所以.