广东省天天向上联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省天天向上联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为2，两直线垂直，
故直线的斜率，即.
故选：D．
2. 圆 被轴所截得的弦长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】的圆心和半径分别为，，
因此圆被轴所截得的弦长为，
故选：D.
3. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】定点，，
故，所以；
故：，所以，
所以点到直线的距离．
故选：C．
4. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点P为双曲线右支上的一点，且的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题知，所以，又，所以，又的周长为10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
5. 下列说法正确的有（ ）个
①若三点在一条直线上，，，，则.
②过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为.
③圆，Px0,y0为圆上任意一点，的最大值为5.
④圆与圆外切，则实数的值为1.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】对于①：若三点在一条直线上，则斜率等于斜率，即，解得，故①错误；
对于②：若直线过原点，则方程为；若直线不过原点，则设直线的方程为，由题意，解得，所以直线方程为，
即，综上，直线的方程为或，故②错误；
对于③：由知，所以的最大值为，故③错误；
对于④：由题知，且，即，解得或，故④错误.故选：A.
6. 如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，，则线段OM的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意建立以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
则，，因为是的中点，所以，
因为，所以，
所以，即线段的长为，
故选B.
7. 已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将代入得，
将代入得，所以A，B不在直线l上，
又上，所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，则，
所以，即，
因为，所以，
故选：D.
8. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，
即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B.
三、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的德6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 不存在实数，使得
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，
解得，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，假设，则，
所以，该方程组无解，故C正确；
对于D，因为，所以，解得，
所以，，所以，故D错误.
故选：AC.
10. 下列结论正确的有（ ）
A. 直线关于对称的直线为
B. 若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为60°
C. 若直线与直线垂直，则
D. 双曲线与椭圆有不同的焦点.
【答案】ABC
【解析】A选项：联立方程组解得交点坐标为，
在直线取点，过点作的垂线，
联立方程组解得交点坐标为，
所以点关于的对称点为，
∴对称直线为：，化简得：，
∴直线关于对称的直线为，A选项正确；
B选项：直线倾斜角为，，∴，B选项正确；
C选项： ，，∵两直线垂直，∴，
∴，C选项正确；
D选项：，，，且两曲线焦点均在x轴，D选项错误；
故选：ABC.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）

A. 在中点时，平面平面
B. 异面直线所成角的余弦值为
C. 在同一个球面上
D. ，则点轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：取的中点，连接，

在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，
易知，平面，在面内，
所以，面，面，，
所以面，面，所以，
连接，是正方形，，
因为面，面，所以，
因为面，面，，
所以面，因为面，所以，
综上，面，面，又，
所以面，面，故平面平面，故A正确；
对于选项B：取的中点，连接，则，
所以是异面直线所成的角，
又，则，故B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点，则，
所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；
对于选项D：因为，且为的中点，
所以，故，
所以点轨迹是过点与平行的线段，且，
所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，，则实数__________.
【答案】
【解析】因为，所以，即.
又因为，，所以，即.
13. 设，若直线与直线之间的距离为，则的值为________．
【答案】2或
【解析】由题意可得，解得或.
14. 已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．
【答案】
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，.

（1）试用向量，，表示向量：
（2）求OE的长.
解：（1）依题意，
，
即.
（2）因为
，
所以，
即OE的长.
16. 已知直线.
（1）求原点到直线l距离的最大值：
（2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程.
解：（1）直线可化为，
令，解得，，即直线恒过定点；
当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；
（2）设直线的方程为，，
因为直线过定点，所以，
由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，
故面积，即面积的最小值为4，
此时直线方程为，即．
17. 已知圆C过点和点.并且圆心在直线上，点，过点P作圆C的切线l.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求切线l的方程.
解：（1）设圆C的标准方程为，圆心为，半径为，
依题意可得，解之得，
所以圆C的标准方程为.

（2）切线斜率存在时，设切线l的斜率为，
则切线l的方程为，即，
所以，解得，
所以切线l的方程为，
又因为圆心到直线的距离为，
所以直线也为圆圆C的切线.
故切线l的方程为和.
18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
（1）证明：因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为，
所以，即，
（2）解：设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为：
.

19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值.
（1）解：由题意，
又∵点是椭圆上一点，∴，
又，解得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：当直线斜率不存在时，
由对称性不妨设，
则 ，又 ，解得 ，
根据椭圆的对称性，不妨取 ,则，
则,所以;
当直线斜率存在时，设直线的方程为，设点
联立，得1+2k2x2+4kmx+2m2-2=0，
则，
因为，得，即，
所以，，解得，
，
原点到直线的距离为，
因为，
且，
所以（定值），
综上述四边形的面积为定值．