2024-2025学年福建省三明一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=21+i，则z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. i
2.下列结论中正确的是( )
A. 正四面体是四棱锥
B. 棱台的侧棱长均相等
C. 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D. 以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π3，b=4，c=3，则a=( )
A. 37B. 6C. 5D. 13
4.在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥c，b⊥c，则a/​/b
B. 若a⊂α，b⊂β，则a，b为异面直线
C. 若a/​/α，b/​/β，α/​/β，则a/​/b
D. 若α/​/β，a⊂α，则a/​/β
5.如图，在△ABC中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设AB=a，AC=b，那么MC=( )
A. −14a+34b
B. 14a−34b
C. −34a+14b
D. −34a−14b
6.已知单位向量a，b满足(a+2b)⋅(a−b)=−23，则a在b上的投影向量为( )
A. 13bB. 12bC. 23bD. −23b
7.在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN= 2，则CM⋅CN的取值范围为( )
A. [2,52]B. [2,4]C. [3,6]D. [4,6]
8.在四棱锥P−ABCD中，DC=3AB，过直线AB的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱PC交于点E，则PEPC=( )
A. 12B. 22C. 32D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于向量a，b，c，下列说法正确的是( )
A. |a+b|≤|a|+|b|B. 若a=b，则|a|=|b|
C. 若|a|>|b|，则a>bD. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为4πR2B. 圆锥的侧面积为 5πR2
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0.以下命题正确的有( )
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△AMC的重心
B. 若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA：SB：SC=1： 3：2
D. 若M为△ABC的垂心，2MA+3MB+4MC=0，则cs∠AMB=− 77
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简OP−QP+PS+SP的结果等于______．
13.在△ABC中，A=π3，sinB=14，BC=3，则AC= ______．
14.已知复数z=x+yi(x,y∈R)，且|z−2i|=1，则x x2+y2的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限，且满足z⋅z−=4．
(1)求实数b的值；
(2)若m⋅z2+2z+n=0(m≠0，且m，n∈R)，求m+n的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,−2)．
(1)求|a−b|；
(2)若|c|= 10，且(2a+c)⊥c，求向量a与向量c的夹角；
(3)若|c|= 29，且(2a+b)//c，求向量c的坐标．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=4，E为侧棱PA的中点．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)证明：PC//平面BDE；
(3)证明：BD⊥PC．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2 6，sin2C−sin2A−sin2B=sinA⋅sinB．
(1)求角C的大小；
(2)若 3bsinA=asin2B，求△ABC的周长；
(3)求AB边上的中线CD长度的最小值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ab=b+ca= 3sinAcsB．
(1)求C．
(2)若b=1，点M，N是边AB上的两个动点，当∠MCN=π3时，求△MCN面积的取值范围．
(3)若点M，N是直线AB上的两个动点，记∠MCN=θ(0b，
∵MN= 2，
∴(a−b)2+(b−a)2=2，
∴a−b=1，
∴a=b+1，
∴0≤b≤2，
∴CM⋅CN=(a,3−a)⋅(b,3−b)
=2ab−3(a+b)+9
=2(b2−2b+3)，0≤b≤2，
∴b=1时有最小值4；
当b=0，或b=2时有最大值6，
∴CM⋅CN的取值范围为[4,6]
故选：D．
通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将CM⋅CN=2(b−1)2，0≤b≤1，求出范围．
熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设该平面与PD交于F，∵DC=3AB，∴AB/​/CD，
∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB/​/平面PCD，
∵AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB/​/EF，则CD/​/EF，
设PEPC=λ(0