2024版人教版班级上册期末专项练习第13章：轴对称（简答题专练）（解析版）八年级数学人教版

这是一份2024版人教版班级上册期末专项练习第13章：轴对称（简答题专练）（解析版）八年级数学人教版，共27页。试卷主要包含了已知，按要求完成作图等内容，欢迎下载使用。

1．已知：如图，已知△ABC，
（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）写出△A1B1C1和△A2B2C2各顶点坐标．
【答案】（1）见解析；（2）A1（0，2），B1（2，4），C1（4，1），A2（0，-2），B2（-2，-4），C2（-4，-1）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴和y轴的对称点，再分别顺次连接可得；
（2）根据所作图形即可得出点的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求．
（2）由图可知，A1（0，2）、B1（2，4）、C1（4，1），
A2（0，−2）、B2（−2，−4）、C2（−4，−1）．
【点评】本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
2．下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，使得图3成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形.
【答案】见解析
【分析】根据轴对称的性质解答即可.
【详解】如图所示：
【点评】本题考查了画轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题的关键.
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．
【答案】见解析
【分析】连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据AB=AC，求出，，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．
【详解】证明：连接，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接求出．
4．如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证：是等边三角形.
【答案】证明见解析
【分析】根据三个角是60°的三角形是等边三角形进行证明即可．
【详解】∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60°，∴∠BAD=∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形．
【点评】本题考查等边三角形的判定，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
5．如图，已知，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=4cm，求AC的长．
【答案】12cm
【分析】由题意易得∠ABC=60°，进而可得∠A=∠ABD=30°，则有∠CBD=30°，然后根据含30°直角三角形的性质可得AD=BD=8cm，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=4cm，
∴BD=2CD=8cm，
∴AD=8cm，
∴AC=CD+AD=12cm．
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
6．如图，两条笔直的公路，相交于点，为30°，指挥中心设在路段上，与地的距离为20千米．一次行动中，王警官带队从地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在9千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否与指挥中心用对讲机通话．
【答案】见解析
【分析】过点M作MH⊥OC于点H，根据直角三角形的性质求出MH再与9千米比较大小即可．
【详解】解：过点M作MH⊥OC于点H，
在Rt△MOH中，∵OM=20，∠AOC=30°，
∴MH=OM=10（千米）＞9（千米）．
∴王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话．
【点评】本题主要考查了含有30°的直角三角形的性质的实际应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键
7．按要求完成作图．
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P的点的坐标：
【答案】（1）见解析；（2）P点坐标为(-3，0)，作图见解析
【分析】（1）分别作出点三点关于y轴对称的点，然后连接，，，即可；
（2）确定出点A关于x轴的对称点的位置，然后连接，根据轴对称确定最短路线问题，与x轴的交点即为所求的点P．
【详解】解：（1）分别作出点三点关于y轴对称的点，然后连接，，，则即为所求，如图所示：
（2）点A关于x轴的对称点，则
由三角形三边关系可得，当三点共线时，，此时最小，
由图形可得：，
则
设直线的解析式为，代入、得
，解得，即
令，解得，
∴点P的坐标为(-3，0)
x轴上使PA+ PC最小的点P，点P的坐标为(-3，0)，如图所示．
【点评】此题考查了轴对称作图，以及轴对称的性质，涉及了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A（1，2），B（4，1），C（2，4）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
（2）在图中x轴上作出一点P，使PA+PB的值最小；并写出点P的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作出点A关于x轴的对称点A″，再连接A″B，与x轴的交点即为所求．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．

（2）如图所示，作A点关于x轴得对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，则点P即为所求，其坐标为（3，0）．
【点评】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6，AB的垂直平分线交恩BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．求证：BM=MN=NC．
【答案】见解析
【分析】此类题要通过作辅助线来联系各角之间的关系．首先根据垂直平分线的性质求出△BMA、△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】解：连接AM ，AN，
∵AB=AC，∠BAC=120°．∠B=∠C=30°，
∵EM垂直平分AB，∴BM=AM，
∴∠MAB=∠B=30°，∴∠AMB= 120°．∴∠AMN= 60°，
同理CN=AN，∠ANM= 60°，
∠AMN=∠MAN=∠ANM= 60°，
∴△ANM是等边三角形，
∴AM=MN=AN，∴BM=MN=CN．
【点评】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
10．已知点P(a+1，2)关于y轴的对称点为Q(3，b-1)，求(a+b)2021的值．
【答案】(a+b)2021=-1
【分析】根据关于y轴对称点的特征确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：因为点P(a+1，2)关于y轴的对称点为Q(3，b-1)，
所以a+1=- 3，b- 1=2，
解得a=-4，b=3，
所以(a+b)2021=(-4+3)2021=(-1)2021=-1．
【点评】此题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
11．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为8cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【答案】72cm
【分析】如图，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解 从而可得答案．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵ 在中，，
∴ ，
同理可得，，
又∵ 双翼边缘的端点与之间的距离为8cm，
∴
∴ 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为72cm．
【点评】本题考查的是含的直角三角形的性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
12．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，
(1)求∠APO+∠DCO的度数;
(2)求证:点P在OC的垂直平分线上.
【答案】（1）30°；（2）详见解析．
【分析】（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
（2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形，进而解答即可．
【详解】解：（1）如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
（2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴OP=PC，
∴点P在OC的垂直平分线上
【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
13．如图，在的网格中，有格点三角形，试画出与它成轴对称的格点三角形.(请画种以上. )
【答案】见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】解:如图
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题关键是正确掌握轴对称图形的性质．
14．如图，在平面直角坐标中，已知△ABC的三个顶点A（－3，1），B（－2，3），C（2，1），直线l上各点的横坐标都为1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，直接写出点B′的坐标；
（2）直接写出点M（a，b）关于直线l对称点M ′的坐标．
【答案】（1）B′（4，3）（2）M ′（2－a，b）
【分析】⑴尺规作图即可，依图写出B’坐标；
⑵根据对称轴的性质直接写出M ′,注意对称轴为1.
【详解】（1）解：画图略； B′（4，3）
（2）解：因为M (a , b) 与M’关于l的对称, l=1
M (2-a , b)
【点评】本题考查了利用对称轴的性质得出对应点的坐标及作图画出对称图形.
15．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．
【答案】图见解析．
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【详解】解：如图所示（选其中两种即可）：
【点评】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的概念，灵活应用所学知识解决问题．
16．找出图中是轴对称图形的图形，并找出两对对应点、两对对应线段、两对对应角．
【答案】答案见解析
【分析】观察可知①是轴对称图形,先确定对称轴，然后找对应点、对应线段及对应角.
【详解】由图中可以观察得出,
①是轴对称图形,对称轴是以BE为轴,∠1和∠2是对应角，∠3和∠4是对应角;
线段a与线段b,线段c与线段d分别是对应线段;
点A与点C,点D与点F分别是对应点.故:①是轴对称图形;点A与点C,点D与点F分别是对应点; 线段a与线段b,线段c与线段d分别是对应线段;∠1和∠2是对应角，∠3和∠4是对应角.
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质.
17．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP垂直平分线段CD
【答案】见解析
【分析】（1）∠PCD=∠PDC．由于P点是∠AOB平分线上一点，根据角平分线的性质可以推出PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件首先容易证明Rt△POC≌Rt△POD，从而得到OC=OD，由（1）有PC=PD，利用线段的垂直平分线的判定即可证明结论．
【详解】(1)∠PCD=∠PDC.
理由：∵OP是∠AOB的平分线，
且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC；
(2)OP是CD的垂直平分线.
理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，
∴OC=OD，
由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，
从而OP是线段CD的垂直平分线.
【点评】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于得出PC=PD.
18．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．
（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；
（2）证明（1）中的结论.
【答案】（1）见解析，AC⊥BD；（2）见解析
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据垂直平分线的判定定理证出点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出结论.
【详解】（1）补图如下：
结论：AC⊥BD
（2）∵AB=AD
∴点A在线段BD的垂直平分线上
∵CB=CD
∴点C在线段BD的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴AC是线段BD的垂直平分线
即AC⊥BD
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握并灵活应用性质是解答本题的关键．
19．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称图形．下面是两种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成轴对称图形，并画出一条对称轴(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉)．
【答案】见解析
【详解】分析：根据定义以及所给的阴影三角形设计图案即可.
详解：根据题意，如图所示：（答案不唯一）.
点睛：本题考查轴对称图形的知识，要设计正确图案，掌握性质是关键；轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
20．如图所示，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）请写出A1 ，A2的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）A1（2，1），A2（-2，- 1）.
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点，先找出对应点位置，再首尾连接即可得到△A1B1C1；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点，先找出对应点位置，再首尾连接即可得到△A2B2C2；
（3）结合图形写出坐标即可；
【详解】(1)如图所示：△A1B1C1， 即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2， 即为所求；
(3)A1(2，1)，A2(-2，- 1)．
【点评】本题考查的是作图−−轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21．如图，在4×4的正方形方格中，有5个小正方形被涂上了阴影，请分别在下列两个图中再选择两个空白的小正方形并涂上阴影，使得图中整个阴影部分成为轴对称图形．
【答案】见解析．
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示：图中整个阴影部分是轴对称图形．
【点评】本题考查轴对称图形的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，综合考查学生的想象能力及理解能力．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（-1，-1），B（-3，3），C（-4，1）．画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1， 并写出点B的对应点B1的坐标．
【答案】见解析，点B的对应点B1的坐标为（3，3）
【分析】根据轴对称的性质画出图形并写出坐标即可．
【详解】如图所示，B1的坐标为(3，3)．
【点评】本题考查了作图−轴对称，属于基础题．关键是确定对称点的位置．
23．如图，已知△ABC及点O，请用圆规和没有刻度的直尺完成下列作图：

（1）作平行四边形ABCD ；
（2）作出△ABC关于点O对称的△A'B'C'．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作出图形即可;
（2）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于O点对称的△A′B′C′
【详解】（1）分别以A，C为圆心，BC，AB为半径画弧，两弧交于点D，连接CD，AD即可.
（2）连接CO，延长CO到C′，使得OC′=OC.同理作出点B′，A′，连接A′B′，B′C′，C′A′即可.
【点评】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定，中心对称的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．已知点，.若、关于轴对称，求的值．
【答案】1
【分析】先根据、关于轴对称，求出a和b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵、关于轴对称，
∴，
解得
，
∴=．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解答本题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，网格线由边长为1的小正方形构成．

（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1的坐标．
【答案】（1）见解析（2）（1，5）
【分析】（1）分别找出点A、点B、点C关于y轴的对称点A1、B1、C1 ， 连接A1、B1、C1即可；
（2）根据点A1在平面直角坐标系中的位置即可写出点A1的坐标.
【详解】解：（1）如图，
（2）A1（1，5）.
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
26．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
【答案】见解析
【详解】试题分析：可过点P分别作关于OM，ON的对称点P′，P″，连接P′P″，与OM、ON的交点即为满足条件的建桥地点.
试题解析：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
【点睛】本题考查了最短径问题，主要就是要掌握轴对称在生活中的实际应用，解此类题的关键就是要作出对称点，然后根据两点之间线段最短进行连接，从而得到满足条件的点.
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小．
【答案】26°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝52°，∠BDE＝64°，∠ADB＝90°，计算即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝52°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝64°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝26°．
【点评】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．
28．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．
【答案】AB＝2－2，CD＝4－.
【分析】此题为几何题，看题目只是一个四边形，要求两条未知边，那肯定要添辅助线.过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于M.构建矩形HBMD.利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度.
【详解】
如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.
∵∠B＝90°，
∴四边形HBMD是矩形.
∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，
又∵∠C＝60°，
∴∠ADH＝∠MDC＝30°，
∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝AD＝，DH＝.
∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－＝.
∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－，DM＝CD＝.
∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝－＝
【点评】本题考查了勾股定理和矩形的判定与性质.此题的关键是根据题意作出辅助线，构建矩形.
29．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【答案】
【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形， ∴DE=DC=2，
在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2， ∴DF=2DE=4，
∴EF=．
【点评】本题考查等边三角形的性质．
30．如图△ABC中，的平分线交于点O，过O点做，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
【答案】CF＋BE＝EF，理由见解析
【分析】由BO平分∠ABC，证明∠EBO＝∠CBO ，再由平行线的性质证明∠EOB＝∠OBC ，可得∠EBO＝∠EOB， 可得EO＝BE ，同理可证明 再利用线段的和差可得结论．
【详解】解：CF＋BE＝EF．
证明如下：
∵BO平分∠ABC
∴∠EBO＝∠CBO ，
∵
∴∠EOB＝∠OBC ，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EO＝BE ，
同理可得：CF＝FO，
∵EO＋FO＝EF ，
∴CF＋BE＝EF．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
31．已知：如图，点D、E在的边BC上，，．求证：
（1）；
（2）若，，直接写出图中除与外所有的等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【详解】（1）过点A作AF⊥BC于点F．
∵AD=AE，∴DF=EF．
∵BD=CE，∴BF=CF，∴AB=AC．
（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠BAC=108°，∴∠B=∠C=（180°－108°）÷2=36°．
同理∠ADE=∠AED=72°，
∴∠BAD=∠ADE－∠B=72°－36°=36°，
∴∠B=∠BAD=36°，∴△ABD是等腰三角形；
同理∠EAC=∠C=36°，∴△AEC是等腰三角形；
∵∠BAD=36°，∠DAE=36°，∴∠BAE=∠BEA=72°，∴△ABE是等腰三角形；
同理∠CAD=∠CDA=72°，∴△ADC是等腰三角形．
综上所述：除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
32．如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测的灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处．求：此时轮船与灯塔M的距离是多少？灯塔M在轮船的什么方向上？
【答案】（1）轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；（2）14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向．
【分析】（1）根据轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上，可以得到BA=BM，从而可以得到答案；
（2）计算出BC的长度，根据∠CBM=60°可以判断△ABM为等边三角形，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意可知BA=28×0.5=14海里，
因为此时灯塔M在北偏东60°的方向上，
根据三角形外角定理可以得到∠BAM=∠M
所以BA=BM=14海里，
即轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（1）
轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，
所以BC=28×05=14海里，
所以BC=BM
又因为∠CBM=60°
所以△ABM为等边三角形
所以CM=14海里
所以灯塔M在轮船的南偏东60°方向
【点评】本题考查的是等腰三角形判定与性质和等边三角形的判定与性质，能够判断出△BAM为等腰三角形和△BCM为等边三角形是解题的关键．