高考数学二轮专题复习讲义专题四 三角形中的最值(范围)问题(原卷版)

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任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)
【例题选讲】
[例1](1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
答案 C 解析 因为a2＜b2＋c2，所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，所以A为锐角．又因为a＞b＞c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))．
(2)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))
答案 A 解析 因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1