上海市金山中学2024~2025学年高二下学期期末数学试卷

这是一份上海市金山中学2024~2025学年高二下学期期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、设集合M=0,1,2，N=1,a，若M⊇N，则实数a= ．
2、若直线l1:ax+3y−6=0与直线l2:x+a−2y−2=0垂直，则a= ．
3、不等式lg⁡x+1>1的解集为 ．
4、已知a→，b→是两个单位向量，若a→−b→=3，则a→,b→= ．
5、从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是 ．
6、底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的12，则该圆柱的高为 ．
7、已知点Am,1在抛物线C:y=ax2上，且点A与焦点的距离为3，则a的值为
8、设由复数组成的数列an满足：对任意的正整数n，都有an+1an=i（i是虚数单位），则数列an的前2024项的和为 ．
9、《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种．
10、已知a>0，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 ．
11、已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，若f′xx+2的解集是 ．
12、已知实数x1，x2，y1，y2满足：x12+y12=2，x22+y22=2，x1y2−y1x2=2，则x1+y1−2+x2+y2−2的最大值是 ．
二、选择题
13、若m，n是不相同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若m//α，n//α，则 m//n
B. 若m//α，n⊂α，则 m//n
C. 若m//α，m//β，则 α//β
D. 若α//β，m⊂α，则 m//β
14、等轴双曲线C过点P3,1，则双曲线C的右焦点F2到其中一条渐近线的距离为（ ）．
A. 3B. 2C. 22D. 23
15、已知2−x2025=a0+a1x+1+a2x+12+⋯+a2025x+12025，则a0+a1+⋯+a2025=（ ）．
A. 22025B. 24050C. 1D. 0
16、已知fx=sin⁡x+ln⁡x，将y=fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列xn，
对于正整数n有如下两个命题：甲：n−1π0，φ∈[0,π)，它们的最小正周期为π．
(1) 若y=fx是奇函数，求fx和gx在[0,π]上的公共减区间D．
(2) 若y=fx+gx的一个零点为x=−π6，求fx+gx的最大值．
19、为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A、B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A、B两个科室中的志愿者分布如下：
(1) 求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率．
(2) 设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
20、已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴为MN，椭圆的离心率e=32，左右焦点分别记作F1、F2，且MF1⋅NF1=1，过F1、F2分别作直线l1、l2交椭圆于AB、CD，且l1//l2；
(1) 求此椭圆方程．
(2) 当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1⋅k2为定值．
(3) 求四边形AF1F2D面积的最大值．
21、已知函数y=fx，若点P是函数y=fx的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点P是函数
y=fx的“特征点”，记y=fx的所有“特征点”的集合为Mf；
(1) 若fx=ln⁡x，求Mf．
(2) 若fx=x2，求证：函数y=fx的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程．
(3) 若fx=x3−ax2，记函数y=fx的所有点组成的集合为N，且Mf∩N=∅，求实数a的取值范围．
1 、【答案】 0或2;
【解析】
【标注】
2 、【答案】 32;
【解析】
【标注】
3 、【答案】 9,+∞;
【解析】
【标注】
4 、【答案】 2π3;
【解析】
【标注】
5 、【答案】 124;
【解析】
【标注】
6 、【答案】 2;
【解析】
【标注】
7 、【答案】 18;
【解析】
【标注】
8 、【答案】 0;
【解析】
【标注】
9 、【答案】 12;
【解析】
【标注】
10 、【答案】 4;
【解析】
【标注】
11 、【答案】 0,e2;
【解析】
【标注】
12 、【答案】 4+22;
【解析】
【标注】
13 、【答案】 D;
【解析】 解：对于A，若m//α，n//α，则m//n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
对于B，若m//α，n⊂α，则m//n或m与n异面，故B错误；
对于C，若m//α，m//β，则α//β或α与β相交，故C错误；
对于D，若α//β，m⊂α，则m//β，故D正确 .
故选：D.
【标注】
14 、【答案】 C;
【解析】 因为所求双曲线为等轴双曲线，且过点P3,1，
所以设双曲线的方程为x2−y2=λλ≠0，
则32−12=λ，即λ=8，
所以双曲线的方程为x2−y2=8，
即x28−y28=1，
所以该双曲线的右焦点F2的坐标为4,0，渐近线方程为y=±x，
所以双曲线C的右焦点F2到其中一条渐近线的距离为412+12=22，
故选： C
【标注】
15 、【答案】 B;
【解析】
【标注】
16 、【答案】 A;
【解析】
【标注】
17 、【答案】 (1) 证明见解析．
;
(2) arcsin1010．
;
【解析】 (1) ∵∠BAP=∠CDP=90∘，∴AB⊥AP，CD⊥DP，
又AB//CD，所以AB⊥DP，
∵AP∩DP=P，AP、DP在平面PAD上，
∴AB⊥平面PAD．
(2) 如图，作AD的中点E，连结PE，CE，
∵PA=PD，PA⊥PD，
∴PE⊥AD，AD=22，PE=12AD=2．
由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，
又AB∩AD=A，AB、AD在平面ABCD上，
所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P−ABCD的高，
∠PCE为PC与平面ABCD所成角．
由四棱锥P−ABCD的体积为4，可得：
4=13S梯形ABCD⋅PE=13⋅AB+CD2⋅AD⋅PE
=13⋅2+CD2⋅22⋅2，解得CD=4，
在Rt△PDC中，PC=PD2+DC2=22+42=25，
在Rt△PEC中，sin⁡∠PCE=PEPC=225=1010，∠PCE=arcsin1010，
所以PC与平面ABCD所成角为arcsin1010．
【标注】
18 、【答案】 (1) D=π4,π2．
;
(2) 6．
;
【解析】 (1) 由T=2πω=π，得ω=2，
又因为y=fx是奇函数且φ∈0,π，所以φ=0，
所以fx=2sin⁡2x，gx=2cs⁡2x，
在[0,π]上，函数fx=2sin⁡2x的单调递减区间是D1=π4,3π4，
函数gx=2cs⁡2x的单调递减区间是D2=0,π2，
所以D=D1∩D2=π4,π2．
(2) y=fx+gx=2sin⁡2x+φ+2cs⁡2x，
把点−π6,0代入得2sin⁡−π3+φ+2cs⁡−π3=0，即sin⁡φ−π3=−12，
因为φ∈0,π，所以φ=π6，
所以 y=fx+gx=2sin⁡2x+π6+2cs⁡2x=612sin⁡2x+32cs⁡2x
=6sin⁡2x+π3
所以当2x+π3=π2+2kπ，k∈Z，即x=π12+kπ，k∈Z时，y=fx+gx取最大值6，
即fx+gxmax=6．
【标注】
19 、【答案】 (1) 211．
;
(2) 所以随机变量X的分布列为
所以EX=2011．
;
【解析】 (1) 由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有C22C62+C32C62种情况，从11人中抽4人有C114种情况，
所以所求的概率为C22C62+C32C62C114=60330=211．
(2) 随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3、4，
PX=0=C50C64C114=122，PX=1=C51C63C114=1033，
PX=2=C52C62C114=511，PX=3=C53C61C114=211，PX=4=C54C60C114=166，
所以随机变量X的分布列为
所以EX=0×122+1×1033+2×511+3×211+4×166=2011．
【标注】
20 、【答案】 (1) x24+y2=1．
;
(2) 证明见解析．
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(3) 2．
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【解析】 (1) 设c2=a2−b2，c>0，
MF1⋅NF1=a−ca+c=1，得到b2=1；
又因为ca=32，所以a2=4，c2=3，b2=1．
即椭圆方程为x24+y2=1．
(2) 设Ax1,y1，Bx2,y2，根据对称性，有C−x1,−y1，因为Ax1,y1，Bx2,y2都在椭圆C上，
所以x124+y12=1，x224+y22=1，二式相减得，x12−x224+y12−y22=0，
所以k1k2=y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=y22−y12x22−x12=−14为定值．
(3) 由题意得，直线l1的倾斜角不为0，由对称性得四边形ABCD为平行四边形，
SABCD=2⋅SAF1F2D=4⋅S△OAB，
F1−3,0，设直线l1的方程为x=my−3，代入x24+y2=1，
得m2+4y2−23y−1=0．显然Δ>0，y1+y2=23m2+4，y1⋅y2=−1m2+4．
所以 S△OAB=12⋅3⋅y1−y2=32⋅23mm2+42−4⋅−1m2+4
=23⋅m2+1m2+42，
设m2+1=t，所以m2=t−1，t∈1+∞．
所以m2+1m2+42=tt2+6t+9=1t+9t+6⩽112．
当且仅当t=9t即m=±2时等号成立，所以S△OABmax=23⋅112=1．
所以平行四边形面积的最大值为SAF1F2D=2⋅S△OAB=2．
【标注】
21 、【答案】 (1) M=∅．
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(2) 证明见解析，这条直线方程为y=−14．
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(3) a∈−2,2．
;
【解析】 (1) 假设fx=ln⁡xx>0存在“特征点”，则fx存在两条互相垂直的切线，
设为x=x1和x=x2处的切线，
因为f′x=1x，所以f′x1f′x2=1x1x2>0，
所以fx不存在“特征点”，所以M=∅．
(2) 设“特征点”Px0,y0是fx在x=x1和x=x2处的切线的交点，
因为fx=x2，所以f′x=2x，
所以fx在x=x1和x=x2处的切线方程为y=2x1x−x12，y=2x2x−x22，联立y=2x1x−x12y=2x2x−x22，解得x=12x1+x2y=x1x2，即P12x1+x2,x1x2，
因为两条切线相互垂直，所以f′x1f′x2=4x1x2=−1，
所以x1x2=−14，所以fx的所有“特征点”在一条定直线y=−14上．
(3) 因为Mf∩N=∅，所以由题意可知不存在fx图象上的点，使得该点是“特征点”，
先证明：对任意的实数a，若fx图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点Qx1,y1不是切点，则存在切线y=f′x2x−x2+fx2，
它与函数图象交于点Q，所以y1=3x22−2ax2x1−x2+x23−ax22=x13−ax12，
化简得x1−x22x1−a+2x2=0，因为x1≠x2，所以x1=a−2x2，
同理可得x1=a−2x3，所以x3=x2，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点；
假设Ax2,y2，Bx3,y3处切线互相垂直，不妨令B是两条切线的交点，
则由前文可知x3=a−2x2，所以f′x2=3x22−2ax2，
f′x3=3x33−2ax3=3a−2x22−2aa−2x2
=12x22−8ax2+a2，
因为f′x2f′x3=−1，
所以3x22−2ax212x22−8ax2+a2=−1，即3x22−2ax212x22−8ax2+a2+1=0，
设t=3x22−2ax2=3x2−a32−a23⩾−a23，
则有t4t+a2+1=4t2+a2t+1=0，
由题意可知fx图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点B，
所以方程4t2+a2t+1=0对t⩾−a23无解，
设gt=4t2+a2t+1，其对称轴为t=−a28⩾−a23，
所以当t=−a28时gt取最小值1−a416，
要使得gt=0无解，只需1−a416>0，解得a∈−2,2．
【标注】