2024-2025学年甘肃省白银市某校高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省白银市某校高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(−12,12)，b=(k,1)，a⊥b，则k=( )
A. 1B. −1C. 32D. − 32
2.(文)若tanα=2，则tan(π4+α)的值为( )
A. 3B. −3C. 13D. −13
3.已知i为虚数单位，若(2+i)z=1+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3 3，b=3，A=π3，则B=( )
A. π4B. π6C. π12D. 5π6
5.已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. 83πB. 163πC. 323πD. 643π
6.把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，则使得关于x的方程x2+ax+b=0没有实数根的概率为( )
A. 118B. 512C. 712D. 1736
7.美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为( )
A. 300 2mB. 300 6mC. 600 3mD. 100 6m
8.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为ABC−A1B1C1，其底面边长是3，侧棱长是12 5，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN//平面ABC1，则点N的轨迹长为( )
A. 27
B. 272
C. 12
D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A. (1+i)(1−i)B. i(1+i)C. (1+i)2D. i2(−i)
10.关于函数f(x)=csx(csx−4sinπ3sinx)−sin2x，下列说法正确的是( )
A. 若f(α−π6)=23，α∈(0,π2)，则sinα= 33
B. 若向量a=(−1, 3)与b=(2,0)的夹角为θ，则f(θ)=1
C. 函数f(x)在区间[−π6,π3]上单调递增
D. 函数f(x+π12)为奇函数
11.已知一个古典概型的样本空间Ω和其随机事件A和随机事件B，其中n(Ω)=20，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=18，则( )
A. n(A∩B)=2B. n(A∩B−)=10
C. 事件A与事件B是互斥事件D. 事件A与事件B−是独立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若在复平面上的矩形ABCD中，AC对应的复数为2−3i，BD对应的复数为−4+i，则DA对应的复数是______．
13.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A1A=4，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的余弦值是______．
14.如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=4，BD=5，∠BCA=30°，∠ADB=45°，则AC=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(1−i)22+i．
(1)求复数z；
(2)若az+b=1+4i，求实数a，b的值．
16.(本小题15分)
已知向量a，b，c在同一平面内，且a=(2,−1)，b=(3,1)．
(1)若|c|=2 10，且c与b共线，求向量c的坐标；
(2)若向量a+3b与向量ka−3b共线，求k的值，此时a+3b与ka−3b同向还是反向？
17.(本小题15分)
读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.某中学为了解本校学生课外阅读的情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生30名，女生70名.经调查统计，分别得到30名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和70名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图．
(1)由频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数z−；(注：以各组的区间中点值代表该组的各个值)
(2)从一周课外阅读时间为[2,4)的样本学生中按比例抽取10人，再从这10人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．
18.(本小题17分)
如图，已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，CQQD1=BPPD=λ(0B，
由正弦定理得sinB=bsinAa=3×sinπ33 3=12，结合BB求出角B的大小，可得答案．
本题主要考查运用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，
所以上下底面正三角形的外接圆的半径为3× 32×23= 3，
且三棱柱的外接球的球心到上下底面距离为1，
所以由勾股定理得该球的半径R= d2+r2=2，
所以外接球的体积V=43πR3=323π．
故选：C．
由对称性确定其外接球的球心位置求得外接球的半径，再根据球的体积计算即可．
本题考查正三棱柱的外接球问题，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：若方程x2+ax+b=0没有实数根，则Δ=a2−4b