2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=−1+ii的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.在一次数学测试中，有8位同学的分数分别是：115，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是( )
A. 130B. 132C. 134D. 136
3.已知圆锥的母线长为2，高为 3，则圆锥的全面积为( )
A. 5πB. 4πC. 3πD. 2π
4.如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，下列运算正确的是( )
A. AB+BD=DA
B. BA+BC=BD
C. AB−AD=BD
D. BD−BA=DA
5.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=45°，a=3，c= 2，则b=( )
A. 2B. 5C. 17D. 21
6.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为( )
A. 25B. 35C. 625D. 1925
7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A. 若m⊥α，m⊥β，则α//βB. 若m//α，n//α，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若α⊥β，m⊥β，则m//α
8.某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间[50,100]内，按分数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图(不完整)，根据图中数据，下列结论错误的是( )
A. 成绩在[80,90)上的人数最多
B. 成绩不低于70分的学生所占比例为70%
C. 50名学生成绩的平均分小于中位数
D. 50名学生成绩的极差为50
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=(1−i)(6+i)，则( )
A. z−=7+5iB. |z−2|=5 2
C. z+7为纯虚数D. z在复平面内对应的点位于第四象限
10.新高一学生会对物理、历史2门课程进行选科，每位同学从中选择1门课程学习.现对该校2000名学生的选科情况进行了统计，如图①，并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取5%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②．
则下列说法正确的是( )
A. 满意率调查中抽取的样本容量为2000
B. 该校学生中对物理课程满意的人数约为720
C. 若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32，则a=80
D. 抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数
11.如图，三棱台ABC−A′B′C′的侧棱长均相等，△ABC和△A′B′C′都是等边三角形，A′B′=2，AB=4，AA′= 2，则( )
A. 直线AA′与直线CC′所成的角为π3
B. 直线AB与直线A′C′所成的角为π3
C. 三棱台ABC−A′B′C′的体积为2 2
D. 三棱台ABC−A′B′C′的体积为7 23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量AB=(2,2)，AC=(−1,k−3)，若A，B，C三点共线，则k= ______．
13.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为34，45，则目标至少被击中1次的概率为______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，a+c=6，b=2 3，则△ABC的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题：
(1)[79.5,89.5]这一组的频率和频数分别为多少？
(2)估计该次环保知识竞赛的及格率(60分以上为及格)；
(3)估计这组数据的80百分位数．
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,4)，b=(2,3)．
(Ⅰ)求a+2b的坐标；
(Ⅱ)求|a|；
(Ⅲ)若c=λa−b，且b⊥c，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．
(1)求A，C两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC(已知声音的传播速度为340米∕秒)
18.(本小题17分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1的中点．
(1)证明：BD1//平面PAC；
(2)求异面直线BD1与AP所成角的大小；
(3)求直线BD1与平面BCC1B1所成角的正切值．
19.(本小题17分)
DeepSeek是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在[2,2.5)内的用户称为“青铜用户”，使用时间在[2.5,3)内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：z=−1+ii=(−1+i)ii⋅i=1+i，虚部为1．
故选：A．
化简复数z，可得其虚部．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：数据115，118，125，130，130，132，136，140共8个数，
因为，
所以75百分位数是第6与第7个数的平均数，等于132+1362=134．
故选：C．
应用百分位数的定义计算求解即可．
本题考查百分位数的求法，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意圆锥的母线长为2，高为 3，
可得圆锥的底面半径为r= 22−( 3)2=1，
则圆锥的全面积为πr2+πrl=π×12+π×1×2=3π．
故选：C．
由勾股定理得出底面半径，进而由圆的面积公式以及圆锥的侧面积公式得出圆锥的全面积．
本题考查了圆锥的全面积公式，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：AB+BD=AD，A错误；
根据向量加法的平行四边形法则BA+BC=BD，B正确；
AB−AD=DB，C错误；
BD−BA=AD，D错误．
故选：B．
根据向量加法的几何意义判断A的正误即可；
根据向量加法的平行四边形法则判断B的正误即可；
根据向量减法的几何意义判断CD的正误即可．
本题考查了向量加法、减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，B=45°，a=3，c= 2，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB=9+2−2×3× 2× 22=5，所以b= 5．
故选：B．
根据题意，运用余弦定理列式算出边b2，进而可得边b的大小．
本题主要考查运用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，
所以从中随机摸出1个球，摸到红球的概率为25．
故选：A．
根据古典概型的运算公式即可得到答案．
本题考查古典概型概率公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：若m⊥α，m⊥β，则α/​/β，所以A选项正确；
若m/​/α，n/​/α，则m/​/n或m与n异面，所以B选项错误；
若m⊥α，m⊥n，则n/​/α或n⊂α，所以C选项错误；
若α⊥β，m⊥β，则m/​/α或m⊂α，所以D选项错误．
故选：A．
由线面，面面的位置关系逐项判断可得．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意可得[70,80)这一组的频率为1−0.1−0.2−0.3−0.2=0.2，
∴成绩在[80,90)上的人数最多，∴A选项正确；
∴成绩不低于70分的学生所占比例为(0.2+0.3+0.2)×100%=70%，∴B选项正确；
∵50名学生成绩的平均分估计为：
55×0.1+65×0.2+75×0.2+85×0.3+95×0.2=78分；
∵前几组的频率依次为0.1，0.2，0.2，
50名学生成绩的中位数估计为80分，
∴估计50名学生成绩的平均分小于中位数，∴C选项正确；
根据题意可估计这个50名学生成绩的极差的范围为[30,50]，∴D选项错误．
故选：D．
根据频率分布直方图的性质，平均数与中位数的概念，极差的概念，针对各个选项即可分别求解．
本题考查频率分布直方图的性质，平均数与中位数的概念，极差的概念，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵z=(1−i)(6+i)=6+1−6i+i=7−5i，
∴z−=7+5i，故A正确；
|z−2|=|5−5i|= 52+52=5 2，故B正确；
z+7=7−5i+7=14−5i不是纯虚数，故C错误；
z在复平面内对应的点的坐标为(7,−5)，位于第四象限，故D正确．
故选：ABD．
根据复数的乘法求出复数z，再根据复数的相关知识逐项判断即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：已知高一学生会对物理、历史2门课程进行选科，每位同学从中选择1门课程学习
该调查的总体容量为2000，其中学习物理有2000×60%=1200人，学习历史有2000×40%=800人；
对于A：满意率调查中抽取的样本容量为2000×5%=100，故A错误；
对于B：该校学生中对物理课程满意的人数约为1200×60%=720，故B正确；
对于C：按比例分配进行分层随机抽样时，
学习物理有100×60%=60人，学习历史的有100×40%=40人，
若抽取的学生中对历史课程满意的人数为32，则a=3240×100=80，故C正确；
对于D：因为a≤100，
所以抽取的学生中对历史课程满意的人数为40×a%≤40，
又因为抽取的学生中对物理课程满意的人数为60×60%=36，
所以抽取的学生中对物理课程满意的人数、对历史课程满意的人数无法比较，
故D错误．
故选：BC．
根据样本容量的定义可判断选项A；利用样本估计总体可判断选项B；先求出样本中学习历史的人数，再根据满意度的求解公式即可判断选项C；先根据a的取值范围求出样本中对历史满意的人数范围，再求出样本中对物理满意的人数，进行比较即可判断选项D．
本题考查统计图表相关知识，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据题意，将三棱台ABC−A′B′C′还原成三棱锥P−ABC，
则△PAC中，AC//A′C′，AC=2A′C′，可得PC=PA=2AA′=2 2，
所以PC2+PA2=AC2=16，可得∠APC=π2，
即直线AA′与直线CC′所成的角为π2，可知A项不正确；
根据AC//A′C′，可知∠BAC(或补角)就是直线AB与直线A′C′所成的角，
等边△ABC中，∠BAC=π3，所以直线AB与直线A′C′所成的角为π3，B项正确；
由A项的分析，可知PA=PB=PC=2 2，∠APB=∠BPC=∠APC=π2，
根据PA、PB、PC两两垂直，可得VP−ABC=VC−PAB=13S△PAB⋅PC=13⋅12⋅PA⋅PB⋅PC=8 23，
同理可得VP−A′B′C′=13⋅12⋅PA′⋅PB′⋅PC′= 23，
可知三棱台ABC−A′B′C′的体积为VP−ABC−VP−A′B′C′=7 23，C项不正确，D项正确．
故选：BD．
将三棱台补成三棱锥P−ABC，在△PAC中算出PC2+PA2=AC2，可得∠APC为直角，从而判断出直线AA′与直线CC′的所成角为π2，可得A项的正误；根据等边三角形的性质与异面直线所成角的定义，判断出B项的正误；分别计算出三棱锥P−ABC与P−A′B′C′的体积，然后作差得出三棱台ABC−A′B′C′的体积，即可判断出C、D两项的正误．
本题主要考查棱台的结构特征、棱锥的体积公式、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】解：由题意，AB//AC，
又AB=(2,2)，AC=(−1,k−3)，
所以2×(k−3)−2×(−1)=0，解得k=2．
故答案为：2．
利用共线向量的坐标表示计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
13.【答案】1920
【解析】解：甲、乙两人向同一目标各射击1次，
甲、乙命中目标的概率分别为34，45，
方法一：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，
则P(A)=34，P(B)=45，
∴目标至少被击中1次的概率为：
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=34+45−34×45=1920；
方法二：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，
则P(A)=34，P(B)=45，P(A−)=14，P(B−)=15，
∴目标没有被击中的概率为P(A−)P(B−)=15×14=120，
∴目标至少被击中1次的概率为1−120=1920．
故答案为：1920．
方法一：设出事件，根据P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)进行求解；
方法二：先求出目标没有被击中的概率，利用对立事件的概率公式求解即可．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】2 3
【解析】解：由a+c=6得，(a+c)2=36，
所以2ac+a2+c2=36，
因为B=60°，
由余弦定理得，csB=a2+c2−b22ac=36−2ac−122ac=12，
所以ac=8，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×8× 32=2 3．
故答案为：2 3．
由余弦定理得出ac=8，再根据三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】频率为0.25，频数为15；
75%；
83.5．
【解析】(1)根据题目容易知，79.5−89.5这一组数据的频率为0.025×(89.5−79.5)=0.25，
79.5−89.5这一组数据的频数为60×0.25=15；
(2)及格率为1−0.01×10−0.015×10=75%；
(3)因为数据落在[39.5,79.5)的频率为0.7，
数据落在[79.5,89.5)的频率为0.25．
设这组数据的80百分位数为x，
所以x∈[79.5,89.5)，
所以x−79.589.5−x=，故x=83.5，
即这组数据的80百分位数为83.5．
(1)根据频率分布直方图中的数据即可求解，
(2)根据图中数据即可求解频率得解，
(3)根据百分位数的计算即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用，属于中档题．
16.【答案】(Ⅰ)(5，10)；
(Ⅱ) 17；
(Ⅲ)1314．
【解析】(Ⅰ)向量a=(1,4)，b=(2,3)．
则a+2b=(1,4)+2×(2,3)=(5,10)；
(Ⅱ)a=(1,4)，则|a|= 12+42= 1+16= 17；
(Ⅲ)c=λa−b=λ(1,4)−(2,3)=(λ−2，4λ−3)，
因为b⊥c，
所以b⋅c=2(λ−2)+3(4λ−3)=0，解得λ=1314．
(Ⅰ)结合向量的坐标运算法则，即可求解；
(Ⅱ)结合向量模公式，即可求解；
(Ⅲ)结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意，设AC=x，则
∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒
∴BC=x−217×340=x−40，
在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2−2BA⋅CA⋅cs∠BAC，
即(x−40)2=x2+10000−100x，解得x=420．
(2)在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，
∴CH=AC⋅tan∠CAH=140 3米．
答：该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米．
【解析】(1)利用在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒，求出BC，利用余弦定理，即可求得结论；
(2)在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，利用正弦函数，可得结论．
本题考查余弦定理的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18.【答案】证明见解析；
π6；
55．
【解析】(1)证明：设AC∩BD=O，连接PO，
在△BDD1中，点P为棱DD1的中点，O为BD的中点，所以PO//BD1，
因为BD1⊄平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD1//平面PAC；
(2)解：由PO//BD1，可知∠APO(或补角)为异面直线BD1与AP所成的角，
由题意得AD=DP=DC=1，PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，
所以AP=PC=AC= 2，
因为OA=OC，PO为等边三角形△APC的中线，
所以∠APO=π6，可得异面直线BD1与AP所成的角为π6；
(3)解：连接BC1，
根据D1C1⊥平面BCC1B1，可得∠D1BC1为直线BD1与平面BCC1B1所成的角，
在Rt△BD1C1中，D1C1⊥BC1，D1C1=1,BC1= 12+22= 5，
所以tan∠D1BC1= 55，可得直线BD1与平面BCC1B1所成的角的正切值为 55．
(1)根据三角形中位线定理证出线线平行，进而证出线面平行；
(2)利用平行线转化异面直线所成角，结合等边三角形的性质求出异面直线BD1与AP所成角的大小；
(3)利用长方体的性质证出∠D1BC1是直线BD1与平面BCC1B1所成的角，然后利用锐角三角函数的定义求出答案．
本题主要考查长方体的结构特征、线面平行的判定定理、直线与平面的所成角、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．
19.【答案】a=0.72，平均值为1.73；
815．
【解析】(1)根据题意可知，0.5×0.2+0.5×0.48+0.5a+0.5×0.4+0.5×0.2=1，∴a=0.72，
平均值为，0.75×0.1+1.25×0.24+1.75×0.36+2.25×0.2+2.75×0.1=1.73，
(2)根据题意可知，抽取的6名学生中，青铜用户选4名，记为a，b，c，d，铂金用户选2名，记为A，B，
样本空间Ω={ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB}，
设事件A=“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则A={aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB}，
∵抽中样本空间Ω中每一个样本点的可能性都相等，∴这是一个古典概型，
∴P(A)=815．
(1)由频率和为1求参数值，根据频率直方图中平均数的求法求平均数即可；
(2)应用分层抽样性质确定不同用户的人数，再由列举法求古典概型的概率即可．
本题考查了频率分布直方图，属于中档题．