2024-2025学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省聊城市高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(−1,3)，B(1,2)，则AB=( )
A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (−1,2)D. (2,−1)
2.下列几何体是棱台的是( )
A. B. C. D.
3.(1−2i)2=( )
A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i
4.若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.已知正四棱锥S−ABCD的所有棱长均相等，则直线SA与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
6.2sin40°− 3sin10°=( )
A. cs10°B. cs20°C. sin40°D. sin50°
7.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，AP=λAB+13AD，当点P在△BCD内部运动时，λ的取值区间为(a,b)，则a+b=( )
A. 76B. 1712C. 32D. 1912
8.如图，AD是半径为4的半圆O的直径，点B，C在弧AD上，若AB=BC，则四边形BCDO周长的最大值为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三条不同的直线a，b，c和平面α，且a//b，则下列结论正确的是( )
A. 若a//c，则b//cB. 若a//α，则b//α
C. 若a与c相交，则b与c相交D. 若a与α相交，则b与α相交
10.欧拉公式exi=csx+isinx是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若z=eπ3i，则( )
A. 2z的虚部为1B. z−=e−π3i
C. |z2025|=1D. z0−z1+z2−z3+⋯−z2025=1
11.将函数f(x)=sin2x+ 3cs2x的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，若ℎ(x)=f(x)g(x)，φ(x)=f(x)g(x)，则( )
A. ℎ(x)与φ(x)的最小正周期相同
B. ℎ(x)与φ(x)的对称中心完全相同
C. f(x)与g(x)在[−π4,π4]上的值域相同
D. f(x)与g(x)的图象在[0,m]上恰有四个交点时，m的取值范围为[47π24,59π24)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a在单位向量b上的投影向量为−b，则a⋅b= ______．
13.函数f(x)=sin4(x−π12)−cs4(x−π12)，x∈[π2,π]的单调递减区间为______．
14.已知△ABC中，CA⊥CB，AB=2，若将△ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体的内切球半径等于23BC，则该内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义运算a⊗b=(x1y2,y1x2)，已知向量m=(1,t)，n=(−2,2)，t∈R．
(1)若m⊗n=n⊗m，求t的值；
(2)若(4m−n)⊥n，求m⊗n与m夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]这6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数(四舍五入取整数)；
(2)从所抽取的数学成绩在[110,130)，[130,150]内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在[130,150]内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在[110,130)内的学生数学成绩的平均数与方差．
17.(本小题15分)
如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．
(1)证明：BC//平面ADE；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧AB的中点时，求直线AE与平面ACD所成角的正切值．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cs2C−cs2A)=(a−b)sin2B.
(1)求角C；
(2)若△ABC的边c上的高等于sinC．
(i)当c=2时，求csAcsB的值；
(ii)求△ABC面积的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A=AB=BC=2，D为AC的中点，平面A1BD⊥平面ABC．
(1)求证：△A1BC1是直角三角形；
(2)E为B1C1的中点，F为CE与BC1的交点，点M在线段A1B上，DM⊥BD，若MF//平面ABC．
(i)求侧面ACC1A1与底面ABC所成二面角的正弦值；
(ii)若点C1到平面ABB1A1的距离为2 105，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.D
5.A
6.A
7.C
8.B
9.AD
10.BCD
11.ABD
12.−1
13.[7π12,π]
14.64π45
15.(1)因为m=(1,t)，n=(−2,2)，
所以m⊗n=(2,−2t)，n⊗m=(−2t,2)，
因为m⊗n=n⊗m，所以−2t=2，解得t=−1；
(2)向量m=(1,t)，n=(−2,2)，由题意得4m−n=(6,4t−2)，
又(4m−n)⊥n，所以−12+8t−4=0，解得t=2，
此时m=(1,2)，m⊗n=(2,−4)，
设m⊗n与m的夹角为θ，
则csθ=(m⊗n)⋅m|m⊗n|⋅|m|=(2,−4)⋅(1,2) 4+16× 1+4=−62 5× 5=−35，
所以m⊗n与m夹角的余弦值为−35．
16.(1)由题意可得(a+2a+4a+0.0175+0.0125+a)×20=1，解得a=0.0025；
由(a+2a+4a)×20=7×0.0025×20=0.350.5，
所以这400名学生数学成绩的中位数m∈[90,110)，
由0.35+(m−90)×0.0175=0.5，解得m≈99，
所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分．
(2)依题意，a0.0125=−1，解得n=6，
设这6名学生的数学成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5，136，
由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，
得x1+x2+x3+x4+x5+1366=126，
整理得x1+x2+x3+x4+x5=620，
所以数学成绩在[110,130)内的这5名学生的平均数为：
x1+x2+x3+x4+x55=124；
设x1，x2，x3，x4，x5的方差为s2，
由这6名学生的数学成绩的方差为50，
得56[s2+(124−126)2]+16[0+(136−126)2]=50，解得s2=36，
所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36．
17.(1)证明：因为CD，BE是圆柱的两条母线，
所以CD//BE，且CD=BE，所以四边形BCDE为平行四边形，
所以BC//DE，
又BC⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，
所以BC//平面ADE．
(2)因为AB是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以BC⊥AC，
又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ACB，
而BC⊂底面ACB，所以CD⊥BC．
因为CD⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，且CD∩AC=C，
所以BC⊥平面ACD．
又由(1)知BC//DE，所以DE⊥平面ACD，
所以∠EAD为直线AE与平面ACD所成的角．
设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，
因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，
所以2πrl=2πr2，得l=r，即CD=r，
又C为弧AB的中点，所以AC=BC=DE= 2r，
所以在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2= 3r，
在Rt△ADE中，tan∠EAD=DEAD= 63，
所以直线AE与平面ACD所成角的正切值为 63．
18.(1)由b(cs2C−cs2A)=(a−b)sin2B得b(sin2A−sin2C)=(a−b)sin2B，
在△ABC中，由正弦定理得b(a2−c2)=(a−b)b2，
即a2−c2=(a−b)b=ab−b2，∴csC=a2+b2−c22ab=12，
∵0