2026届高考数学一轮总复习提能训练练案44空间向量及其运算

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案44空间向量及其运算，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2025·广东部分学校起点模拟)如图，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，点N为BC中点，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c B．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C．eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,2)c D．eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c
[答案] B
[解析] eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，故选B.
2．(2025·辽宁师大附中测试)设x，y∈R，a＝(1,1,1)，b＝(1，y，z)，c＝(x，－4,2)，且a⊥c，b∥c，则|2a＋b|＝( )
A．2eq \r(2) B．eq \r(10)
C．3 D．3eq \r(2)
[答案] D
[解析] 因为a＝(1,1,1)，c＝(x，－4,2)且a⊥c，
所以a·c＝x－4＋2＝0，解得x＝2，
所以c＝(2，－4,2)，又因为b＝(1，y，z)，
c＝(2，－4,2)＝2(1，－2,1)且b∥c，
所以y＝－2，z＝1，
所以b＝(1，－2,1)，所以2a＋b＝(3,0,3)，
所以|2a＋b|＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，故选D.
3．(2025·江苏“云帆杯”学情调研)已知空间向量a＝(6,2,1)，b＝(2，x，－3)，若(a－2b)⊥a，则x＝( )
A．4 B．6
C．eq \f(23,4) D．eq \f(21,4)
[答案] C
[解析] (a－2b)⊥a⇔a2－2ab＝0⇔41＝2(12＋2x－3)，解得x＝eq \f(23,4)，故选C．
4．(2024·湖北宜荆荆随联考)已知空间向量a＝(0,1,2)，b＝(－1,2,2)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(4,3)))
C．(－2,4,4) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
[答案] B
[解析] a在b方向上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(6,3)×eq \f(1,3)(－1,2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(4,3))).故选B.
5．(2024·河南漯河中学摸底)已知四面体A－BCD的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(5,2) D．eq \f(5,2)
[答案] D
[解析] 解法一：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)).因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 60°＝2，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BC,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 60°＝2，eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(CD,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 120°＝－2，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×2＋2＋eq \f(1,4)×(－2)＝eq \f(5,2).故选D.
解法二：取AC的中点H，分别以HB、HC为x轴、y轴建立空间直角坐标系(如图)，由题意知BH＝eq \r(3)，又D在平面ABC内的射影为正△ABC的中心O.∴DO＝eq \f(2\r(6),3)，OH＝eq \f(\r(3),3).∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),12)，\f(3,4)，\f(\r(6),6)))，又Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(3),12)，\f(5,4)，\f(\r(6),6)))，又eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(5,2).故选D.
6．(2024·湘豫名校联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
[答案] D
[解析] 不妨设AB＝BC＝AC＝AA1＝2.
解法一：eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，由题意易知AB1＝BC1＝2eq \r(2)，eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，∴cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(BB1,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))＋\(BB1,\s\up6(→))|,8)＝eq \f(1,4).故选D.
解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(eq \r(3)，1,0)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，∴eq \(AB1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－1,2)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0,2,2)，∴cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|AB1\(|,\s\up6(→))|\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－2＋4|,2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,4).故选D.
解法三：如图将三棱柱补形成平行六面体，连接DC1，则DC1∥AB1，∴∠BC1D为异面直线AB1与BC1所成的角．由题意易知AB1＝DC1＝2eq \r(2)，BD＝2eq \r(3).∴cs∠BC1D＝eq \f(DC\\al(2,1)＋BC\\al(2,1)－BD2,2DC1·BC1)＝eq \f(8＋8－12,2×2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,4).故选D.
7．(2024·江苏扬州、泰州、南通调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关系正确的是( )
A．AD⊥B1C B．A1D⊥BD
C．AC1⊥A1C D．AC1⊥CD1
[答案] D
[解析] 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，
A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)
eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq \(B1C,\s\up6(→))＝(－1,0,－1)，
eq \(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0,－1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－1,－1,0)，
eq \(AC1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，eq \(A1C,\s\up6(→))＝(－1,1,－1)，eq \(CD1,\s\up6(→))＝(0,－1,1)，
eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→))＝－1×(－1)＝1≠0，故A错误；
eq \(A1D,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝－1×(－1)＝1≠0，故B错误；
eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(A1C,\s\up6(→))＝－1×(－1)＋1×1＋1×(－1)＝1≠0，故C错误；
eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(CD1,\s\up6(→))＝－1×0＋1×(－1)＋1×1＝0，故D正确．故选D.
8．(2025·湖北云学名校联盟调研)在棱长为6的正四面体ABCD中，点P与Q满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，且eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(CQ,\s\up6(→))，则|eq \(PQ,\s\up6(→))|的值为( )
A．eq \r(13) B．eq \r(15)
C．eq \r(17) D．eq \r(19)
[答案] D
[解析] 如图：以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}为基底，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝6，
∠BAC＝∠BAD＝∠CAD＝60°，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6×6×cs 60°＝18.
因为eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(AQ,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).
所以|eq \(PQ,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))2＝eq \f(4,9)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,4)|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,4)|eq \(AD,\s\up6(→))|2－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝16＋9＋9－12－12＋9＝19.所以|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝eq \r(19).故选D.
二、多选题
9．(2024·江苏镇江期初测试)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的是( )
A．四边形B1BDD1为矩形
B.eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))
C．eq \(AO1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))
D．如果eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，那么点M在平面A1BD内
[答案] ABD
[解析] eq \(AO1,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝2eq \(AN,\s\up6(→))，N为A1O1的中点，eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
由于eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))≠2eq \(AN,\s\up6(→))，所以eq \(AO1,\s\up6(→))≠eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))，C错误；
设AC∩BD＝O，A1B2＝A1A2＋AB2－2AA1·ABcs∠A1AB，
A1D2＝A1A2＋AD2－2AA1·ADcs∠A1AD，∴A1B＝A1D，
故A1O⊥BD，
又AC⊥BD，A1O∩AC＝O，A1O，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，由于AA1⊂平面ACC1A1，故BD⊥AA1，由于AA1∥BB1，进而BD⊥BB1，所以四边形BDD1B1为矩形，A正确；
BD⊥AO1，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AO1,\s\up6(→))＝0⇒(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AO1,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，B正确；
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，由于eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，
所以M，B，D，A1四点共面，故M在平面A1BD内，D正确．故选ABD.
10．(2025·辽宁实验中学月考)已知空间四点O(0,0,0)，A(4,3,0)，B(－3,0,4)，C(5,6,4)，则下列说法正确的是( )
A．eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝12
B．cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝－eq \f(12,25)
C．点O到直线BC的距离为eq \r(5)
D．O，A，B，C四点共面
[答案] BD
[解析] 因为eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,0,4)，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝4×(－3)＝－12，因此A不正确；又cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→)))))＝－eq \f(12,\r(42＋32)×\r(－32＋42))＝－eq \f(12,25)，因此B正确；eq \(BO,\s\up6(→))＝(3,0，－4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(8,6,0)，cs〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BO,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)))))＝eq \f(24,\r(32＋－42)×\r(82＋62))＝eq \f(12,25)，所以sin〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \r(1－cs2〈\(BO,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉)＝eq \f(\r(481),25)，所以点O到直线BC的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))))sin〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝5×eq \f(\r(481),25)＝eq \f(\r(481),5)，因此C不正确；因为eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(8,6,0)，所以有eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，因此eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))是共线向量，所以O，A，B，C四点共面，因此D正确．故选BD.
11．(2024·广东梅州二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)，若D1M⊥MN，下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为eq \f(3,4)
D．三棱锥C1－A1D1M体积不变
[答案] ACD
[解析] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，
eq \(D1M,\s\up6(→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则eq \(D1M,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0，
∴z＝eq \f(1,3)y(3－y)，
对于A选项：eq \(A1M,\s\up6(→))＝(0，y，－3)，
则eq \(A1M,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(3－y)－3z＝0⇒eq \(A1M,\s\up6(→))⊥eq \(MN,\s\up6(→))，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项：eq \(CM,\s\up6(→))＝(3，y－3,0)，
eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2