2026届高考数学一轮总复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和课件

这是一份2026届高考数学一轮总复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，数不为零，a1qn－1，amqn－m，na1，答案1，答案B，答案A等内容，欢迎下载使用。
第三讲　等比数列及其前n项和
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　等比数列的概念1．等比数列的定义如果一个数列______________________________________________ ___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母____表示．符号语言：____________(n∈N*，q为非零常数)．
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常
2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么____叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝______.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．
知识点二　等比数列的有关公式1．通项公式：an＝___________＝___________.2．前n项和公式
知识点三　等比数列的主要性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
4．当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
5．等比数列{an}的单调性(4)当q1，则该数列单调递增．(　　)(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)(3){an}为等比数列，若a3＝1，a9＝4，则a6＝2.(　　)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
(4)an必须大于0.(5)讨论a＝0，1和a≠0，1.(6)q＝－1时S4＝S8＝S12＝0.
题组三　走向高考4．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)A．14　　　B．12　　　C．6　　　D．3[答案]　D
5．(2023·新课标Ⅱ卷，8，5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)A．120 B．85 C．－85 D．－120[答案]　C
考点突破 · 互动探究
等比数列的基本运算——自主练透
A．a4a8＝1 B．an≥a2C．Sn≤21 D．Sn≥16[答案]　ABD
则当n＝1时，Sn有最大值，即Sn≤S1＝32，当n＝2时，Sn有最小值，即Sn≥S2＝16，故C错误，D正确．故选ABD．
2．(2024·陕西渭南二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，则其公比q＝(　　)A．1 B．2 C．3 D．－3[答案]　C
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a3＝30，S4＝120，若q＝1，由a1＋a3＝30，得到an＝a1＝15，不满足S4＝120，所以q≠1，由a1＋a3＝30，得到a1(1＋q2)＝30①，
[引申]在本例2的条件下an＝________.[答案]　3n[解析]　由a1＋a3＝30得a1(1＋32)＝30，即a1＝3，∴an＝a1qn－1＝3n.
名师点拨：等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．
【变式训练】(2025·辽宁期中)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋1＋2an＝0，2a3＋3a4＝16，则S6＝________.[答案]　21
[解析]　由an＋1＋2an＝0，可得an＋1＝－2an，所以数列{an}是一个公比为－2的等比数列，即a4＝－2a3，所以2a3＋3a4＝16⇒2a3－6a3＝16⇒a3＝－4，即a3＝a1(－2)2＝－4⇒a1＝－1，所以由等比数列的求和公式可得：
等比数列性质的应用——多维探究
角度1　等比数列项的性质的应用
2．(2025·陕西模拟预测)等比数列{an}满足：a1>0，q>0，a1a3a5a7a9＝32，则a2＋a8的最小值为________.[答案]　4
[解析]　依题意，等比数列{an}满足：a1>0，q>0，a1a3a5a7a9＝32，当且仅当a2＝a8＝2时等号成立，此时an＝2.所以a2＋a8的最小值为4.
[引申]在本例1中若将a3，a15改为a2，a16，其他不变，该题应选(　　)[答案]　D
名师点拨：1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
角度2　等比数列前n项和的性质1．(2025·山西晋中模拟预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·3n－1－1，则t＝(　　)A．－3 　B．3 　C．1 　D．－1[答案]　B
[解析]　设公比为q，当q＝1时Sn＝na1，不符合题意；
[解析]　解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1，∴S12＝15S3＝150.故选A．
解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A．解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A．
解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A．
[引申]本例2中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？[答案]　C[解析]　由本例解法一知q3＝2或－3，当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C．
名师点拨：1．等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．2．利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.4．S2n＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn(1＋qn＋q2n)，….
【变式训练】1．(角度1)(2023·全国乙卷理，15，5分)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.[答案]　－2[解析]　由等比数列的性质得a4a5＝a3a6≠0，∵a2a4a5＝a3a6，∴a2＝1.∴q15＝－8，∴(q5)3＝－8，∴q5＝－2，∴a7＝a2q5＝1×(－2)＝－2.
A．4 B．6 C．7 D．9[答案]　C
解法二：等比数列{an}的公比为q，由S6＝3S3，得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝2S3，即a1q3＋a1q4＋a1q5＝2(a1＋a1q＋a1q2)，而a1≠0，1＋q＋q2≠0，则q3＝2，因此S9＝S6＋a7＋a8＋a9＝3S3＋a1q6＋a1q7＋a1q8＝3S3＋q6S3＝7S3，
等比数列的判定与证明——师生共研
(2025·重庆期中)已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－1＝2an＋n.(1)求证：数列{an＋n＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解析]　(1)证明：由an＋1－1＝2an＋n可得an＋1＋n＋1＋2＝2(an＋n＋2)，又a1＋3＝4≠0，所以an＋n＋2≠0，所以数列{an＋n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，an＋n＋2＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－n－2，所以Sn＝(22－3)＋(23－4)＋…＋[2n＋1－(n＋2)]＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(3＋4＋…＋n＋2)
名师点拨：等比数列的判定方法
3．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．
[解析]　(1)证明：由题设易知an≠0，
名师讲坛 · 素养提升
数列中的数学文化纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生受困于背景陌生，无处着手．本专题就数列中的数学文化试题通过典型分析，让学生提高审题能力，增强对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解．
1．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A．3 699块 B．3 474块C．3 402块 D．3 339块[答案]　C
2．(2024·北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为(　　)A．12里 B．24里C．48里 D．96里[答案]　C
名师点拨：以数学文化为背景的等差(比)数列问题的求解关键是：①会脱去数学文化的背景，读懂题意；②构建模型，即由题意构建等差(比)数列的模型；③解模，即把文字语言转化为求等差(比)数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等．
2．(2024·北京西城期中)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”这一问题中从下部算起第5节容量是________升.(结果保留分数)